クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+2 µC の電荷と −5 µC の電荷が 50 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 20 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +2 µCq2 = −5 µCr1 = 20 cmr2 = 30 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+6 µC と −6 µC の電荷が 12 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 5 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +6 µCq2 = −6 µCd = 12 cmh = 5 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 6 VR1 = 20 ΩR2 = 12 ΩR3 = 5 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 15 VR1 = 5 ΩR2 = 30 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 ΩR5 = 10 ΩR6 = 6 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 95% に達するか。t を求めよ。
Vs = 24 VR = 22 ΩL = 47 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 3 V に充電されている。 t = 150 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 5 VR = 2.2 kΩC = 220 µFvC(0) = 3 Vt = 150 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
円形のループが、紙面の手前向き の一様な磁場の中にあります。磁場は弱くなっています。図で見たループの誘導電流の向きをクリックしてください。
B: 紙面の手前向きdB/dt < 0
- 1時計回り
- 2反時計回り
8.磁場と電磁誘導むずかしい
25 mH のインダクタの電流が、2 ms で 0 A から 5 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。
L = 25 mH0 A → 5 AΔt = 2 ms
ε = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
抵抗とコイルが並列に、230 V（実効値）、100 Hz の電源に接続されている。 インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 100 ΩL = 150 mH
|Z| = Ω
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 15 Ω、L = 5 mH、C = 0.22 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。
R = 15 ΩL = 5 mHC = 0.22 µF
Q =
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 948944 N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.2² = 449500 N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.3² = 499444 N/C
向きと合成
1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。
E = |449500 + 499444| = 948944 N/C
答え
E = 948944 N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.359 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(6² + 5²) = 7.81 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.0781² = 8.843 × 10⁶ N/C
成分
二等分線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(a/r) = 2·8.843 × 10⁶·0.7682 = 1.359 × 10⁷ N/C
答え
E = 1.359 × 10⁷ N/C
電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.2219 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 5 + 12 = 17 Ω
R2 ∥ 17 = 12·17/(12+17) = 7.034 Ω
Req = R1 + 7.034 = 20 + 7.034 = 27.03 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 6/27.03 = 0.2219 A
答え
IR1 = 0.2219 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.3417 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 10 + 6 = 16 Ω
R4 ∥ 16 = 6.857 Ω
R3 + 6.857 = 16.86 Ω
R2 ∥ 16.86 = 10.79 Ω
Req = R1 + 10.79 = 5 + 10.79 = 15.79 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 15/15.79 = 0.9498 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 15 − 0.9498·5 = 10.25 V
IR2 = VA/R2 = 10.25/30 = 0.3417 A
答え
IR2 = 0.3417 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: t = 6.4 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 47 mH / 22 Ω = 2.136 ms
i(∞) = Vs/R = 24/22 = 1.091 A
時間について解く
0.95 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.95)
t = −2.136·ln(0.05) = 6.4 ms
答え
t = 6.4 ms
6.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 3.533 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 3 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 220 µF = 484 ms
vC(t) = 5 + (3 − 5)·e−t/τ
指定時刻の電圧
vC(150) = 5 + (−2)·e−150/484 = 3.533 V
答え
vC = 3.533 V
7.磁場と電磁誘導
答え: 反時計回り
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
磁束の変化
紙面の奥向きの磁束が増えるか、紙面の手前向きの磁束が減ります。
誘導電流がつくる磁場
誘導電流は変化を妨げます。
ループ内側の誘導磁場：紙面の手前向き。
電流の向き
右手の法則：反時計回りの電流は、ループの内側に紙面の手前向きの磁場をつくります。
反時計回り
答え
反時計回り
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 62.5 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
自己誘導起電力
起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。
ε = L·ΔI/Δt = 0.025·5/0.002 = 62.5 V
答え
ε = 62.5 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: |Z| = 68.59 Ω
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = ωL = 2π·100·0.15 = 94.25 Ω
枝電流
両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。
IR = V/R = 230/100 = 2.3 A
IX = V/XL = 230/94.25 = 2.44 A
全電流
抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。
I = √(IR² + IX²) = √(2.3² + 2.44²) = 3.353 A
インピーダンス
|Z| = V/I = 230/3.353 = 68.59 Ω
答え
|Z| = 68.59 Ω
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: Q = 10.05
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.005·0.22·10⁻⁶)) = 4799 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.005/(0.22·10⁻⁶)) = 10.05
答え
Q = 10.05
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