物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+1 µC の電荷と −5 µC の電荷が 30 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 12 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +1 µCq₂ = −5 µCr₁ = 12 cmr₂ = 18 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 10 µC は直角の頂点に、q₁ = 5 µC はそこから一方の辺に沿って 5 cm の位置に、q₂ = 2 µC はもう一方の辺に沿って 5 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 5 µCq₂ = 2 µCq₃ = 10 µCr₁₃ = 5 cmr₂₃ = 5 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 10 ΩR₂ = 4 ΩR₃ = 5 ΩR₄ = 6 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 9 VR₁ = 3 ΩR₂ = 25 ΩR₃ = 12 ΩR₄ = 6 ΩR₅ = 20 ΩR₆ = 12 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

コイルには 3 A の定常電流が流れている。t = 0 にスイッチが R を通るループを閉じ、電源が切り離されるので、コイルの電流は R を通して減衰する。 t = 10 ms における電流 i を求めよ。

i(0) = 3 AR = 15 ΩL = 100 mHt = 10 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 0 からどれだけ後に、コイルの電流は 0.494 A に達するか。t を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 22 ΩR₂ = 10 ΩL = 150 mH

t = ms

7.磁場と電磁誘導ふつう

電子が、4 mT の一様な磁場の中で円運動をしています。1 周にかかる時間 T を求めてください。

m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CB = 4 mT

T = ns

8.磁場と電磁誘導むずかしい

速度選択器では、直交する電場 E = 5 × 10⁴ V/m と磁場 B = 0.4 T によって、1 つの速さのイオンだけがまっすぐ通り抜けます。その速さ v を求めてください。

E = 5 × 10⁴ V/mB₁ = 0.4 T

v = m/s

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 100 µF

φ = °

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 2 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 V_L を求めよ。

V = 2 V (rms)R = 5 ΩL = 10 mHC = 1 µF

V_L = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 2.012 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.12² = 624306 N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0.18² = 1.387 × 10⁶ N/C

向きと合成

1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。

E = |624306 + 1.387 × 10⁶| = 2.012 × 10⁶ N/C

答え

E = 2.012 × 10⁶ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 193.7 N

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·5·10 × 10⁻¹²/0.05² = 179.8 N

F₂ = k·2·10 × 10⁻¹²/0.05² = 71.92 N

ベクトル和

F = √(179.8² + 71.92²) = 193.7 N

答え

F = 193.7 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.4639 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 5 + 6 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 4·11/(4+11) = 2.933 Ω

R_eq = R₁ + 2.933 = 10 + 2.933 = 12.93 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/12.93 = 0.4639 A

答え

I_R1 = 0.4639 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.2778 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 20 + 12 = 32 Ω

R₄ ∥ 32 = 5.053 Ω

R₃ + 5.053 = 17.05 Ω

R₂ ∥ 17.05 = 10.14 Ω

R_eq = R₁ + 10.14 = 3 + 10.14 = 13.14 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 9/13.14 = 0.6851 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 9 − 0.6851·3 = 6.945 V

I_R2 = V_A/R₂ = 6.945/25 = 0.2778 A

答え

I_R2 = 0.2778 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.6694 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数

τ = L/R = 100 mH / 15 Ω = 6.667 ms

電流の減衰

i(t) = 3·e^−10/6.667 = 0.6694 A

答え

i = 0.6694 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: t = 1.684 ms

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。

i(0) = 12/22 = 0.5455 A

i(∞) = 12/(22 + 10) = 0.375 A

τ = L/R = 150/32 = 4.688 ms

i(t) = 0.375 + (0.5455 − 0.375)·e^−t/τ

時間について解く

e^−t/τ = (0.494 − 0.375)/(0.5455 − 0.375) = 0.6981

t = 4.688·ln(1.432) = 1.684 ms

答え

t = 1.684 ms

7.磁場と電磁誘導

答え: T = 8.932 ns

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

円運動の周期

速い粒子はより大きな円を描くので、1 周にかかる時間は変わりません。

T = 2πm/(|q|B) = 2π·9.109 × 10⁻³¹/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.004) = 8.932 ns

答え

T = 8.932 ns

速さは必要ありません：サイクロトロンが 1 つの固定された周波数を使えるのはこのためです。

8.磁場と電磁誘導

答え: v = 125000 m/s

選ばれる速さ

曲がらない：電気力 qE が磁気力 qvB とつり合います。

v = E/B₁ = 5 × 10⁴/0.4 = 125000 m/s

答え

v = 125000 m/s

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = −18.52 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·100·10⁻⁶) = 15.92 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(10² + (−3.349)²) = 10.55 Ω

位相角

φ = arctan((X_L − X_C)/R) = arctan(−3.349/10) = −18.52°

答え

φ = −18.52°

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: V_L = 40 V

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.01·1·10⁻⁶) = 10000 rad/s

I = V/R = 2/5 = 0.4 A

コイルの両端の電圧

X_L = ω₀L = 10000·0.01 = 100 Ω

V_L = I·X_L = 0.4·100 = 40 V

答え

V_L = 40 V

これは電源電圧の Q = 20 倍です。

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