物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

3 つの点電荷が一直線上にある：左に +6 µC、そこから 40 cm 右に +5 µC、その間で左の電荷から 30 cm の位置に +3 µC。中央の電荷に働く電気力の合力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q_L = +6 µCq_R = +5 µCq_M = +3 µCr_L = 30 cmr_R = 10 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 4 µC は直角の頂点に、q₁ = 5 µC はそこから一方の辺に沿って 10 cm の位置に、q₂ = 3 µC はもう一方の辺に沿って 8 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q₁ = 5 µCq₂ = 3 µCq₃ = 4 µCr₁₃ = 10 cmr₂₃ = 8 cm

F = N

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 18 VR₁ = 6 ΩR₂ = 12 ΩR₃ = 10 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 4 ΩR₂ = 6 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 4 ΩR₅ = 5 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 75% に達するか。t を求めよ。

V_s = 15 VR = 33 ΩL = 10 mH

t = ms

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

R₂ の両端のスイッチは長い間開いていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが閉じて R₂ を短絡する。 t = 1 ms でのコイルの電流 i を求めよ。

V_s = 24 VR₁ = 47 ΩR₂ = 33 ΩL = 68 mHt = 1 ms

i = A

7.磁場と電磁誘導ふつう

Α粒子が、0.2 T の一様な磁場に垂直に 5 × 10⁵ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ Cv = 5 × 10⁵ m/sB = 0.2 T

r = cm

8.磁場と電磁誘導むずかしい

50 mH のインダクタの電流が、10 ms で 2.5 A から 2 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。

L = 50 mH2.5 A → 2 AΔt = 10 ms

ε = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコンデンサが並列に、100 V（実効値）、50 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 10 Ω、L = 5 mH、C = 0.01 µF である。帯域幅 B（半電力周波数の間の帯域の幅）を Hz で求めよ。

R = 10 ΩL = 5 mHC = 0.01 µF

B = Hz

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 11.69 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

各電荷からの力

右向きを正とします。

F_L = +k·6·3 × 10⁻¹²/0.3² = 1.798 N

F_R = −k·5·3 × 10⁻¹²/0.1² = −13.48 N

合力

F = 1.798 + (−13.48) = −11.69 N → |F| = 11.69 N

答え

F = 11.69 N

合力は左向きです。

2.クーロンの法則と電場

答え: F = 24.65 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F₁ = k·5·4 × 10⁻¹²/0.1² = 17.98 N

F₂ = k·3·4 × 10⁻¹²/0.08² = 16.86 N

ベクトル和

F = √(17.98² + 16.86²) = 24.65 N

答え

F = 24.65 N

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 1.333 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 10 + 10 = 20 Ω

R₂ ∥ 20 = 12·20/(12+20) = 7.5 Ω

R_eq = R₁ + 7.5 = 6 + 7.5 = 13.5 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 18/13.5 = 1.333 A

答え

I_R1 = 1.333 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 1.407 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 5 + 20 = 25 Ω

R₄ ∥ 25 = 3.448 Ω

R₃ + 3.448 = 6.448 Ω

R₂ ∥ 6.448 = 3.108 Ω

R_eq = R₁ + 3.108 = 4 + 3.108 = 7.108 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/7.108 = 1.407 A

答え

I_R1 = 1.407 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 0.4201 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 10 mH / 33 Ω = 0.303 ms

i(∞) = V_s/R = 15/33 = 0.4545 A

時間について解く

0.75 = 1 − e^−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.75)

t = −0.303·ln(0.25) = 0.4201 ms

答え

t = 0.4201 ms

6.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.4051 A

初期値、最終値、時定数

t = 0 より前は両方の抵抗がループにありますが、その後は閉じたスイッチが R₂ を短絡します。

i(0) = 24/(47 + 33) = 0.3 A

i(∞) = 24/47 = 0.5106 A

τ = L/R = 68/47 = 1.447 ms

i(t) = 0.5106 + (0.3 − 0.5106)·e^−t/τ

指定時刻の電流

i(1) = 0.5106 + (−0.2106)·e^−1/1.447 = 0.4051 A

答え

i = 0.4051 A

7.磁場と電磁誘導

答え: r = 5.185 cm

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

力のつり合い

磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。

|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)

半径

r = 6.645 × 10⁻²⁷·5 × 10⁵/(3.204 × 10⁻¹⁹·0.2) = 0.05185 m = 5.185 cm

答え

r = 5.185 cm

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 2.5 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

自己誘導起電力

起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。

ε = L·ΔI/Δt = 0.05·0.5/0.01 = 2.5 V

答え

ε = 2.5 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 95.4 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·50·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 100/100 = 1 A

I_X = V/X_C = 100/318.3 = 0.3142 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1² + 0.3142²) = 1.048 A

インピーダンス

|Z| = V/I = 100/1.048 = 95.4 Ω

答え

|Z| = 95.4 Ω

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: B = 318.3 Hz

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.005·0.01·10⁻⁶)) = 22508 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/10)·√(0.005/(0.01·10⁻⁶)) = 70.71

帯域幅

B = f₀/Q = 22508/70.71 = 318.3 Hz

答え

B = 318.3 Hz

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