物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+1 µC の電荷と +6 µC の電荷が 60 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 45 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +1 µCq₂ = +6 µCr₁ = 45 cmr₂ = 15 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

電子が 1 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 5 cm、極板間の電場は 1000 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。

v₀ = 1 × 10⁷ m/sL = 5 cmE = 1000 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cm_e = 9.109 × 10⁻³¹ kg

y = mm

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 15 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 10 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 25 ΩR₂ = 8 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 12 ΩR₅ = 25 ΩR₆ = 20 Ω

I_R1 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。

V_s = 24 VR = 10 ΩL = 33 mH

W(∞) = mJ

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 6 V に充電されている。 t = 100 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 10 VR = 3.3 kΩC = 47 µFv_C(0) = 6 Vt = 100 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

長さ 20 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.5 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 3 m/s で滑ります。レールは 0.5 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。電流 I を求めてください。

B = 0.5 TL = 20 cmv = 3 m/sR = 0.5 Ω

I = mA

8.磁場と電磁誘導むずかしい

500 mH のインダクタの電流が、50 ms で 4 A から 0 A まで一定の割合で変化します。自己誘導起電力の大きさ ε を求めてください。

L = 500 mH4 A → 0 AΔt = 50 ms

ε = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコイルが並列に、120 V（実効値）、500 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。

V = 120 V (rms)f = 500 HzR = 100 ΩL = 150 mH

φ = °

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路の R = 100 Ω、L = 100 mH、C = 0.47 µF である。共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 100 ΩL = 100 mHC = 0.47 µF

Q =

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 2.353 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·1 × 10⁻⁶/0.45² = 44395 N/C

E₂ = k·6 × 10⁻⁶/0.15² = 2.397 × 10⁶ N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |44395 − 2.397 × 10⁶| = 2.353 × 10⁶ N/C

答え

E = 2.353 × 10⁶ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: y = 2.198 mm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

極板間にいる時間

t = L/v₀ = 0.05/1 × 10⁷ = 5 × 10⁻⁹ s

横方向の加速度

a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·1000/9.109 × 10⁻³¹ = 1.759 × 10¹⁴ m/s²

たわみ

y = ½·a·t² = ½·1.759 × 10¹⁴·(5 × 10⁻⁹)² = 0.002198 m = 2.198 mm

答え

y = 2.198 mm

電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.5373 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 3 + 10 = 13 Ω

R₂ ∥ 13 = 5·13/(5+13) = 3.611 Ω

R_eq = R₁ + 3.611 = 15 + 3.611 = 18.61 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/18.61 = 0.5373 A

答え

I_R1 = 0.5373 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.3347 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 25 + 20 = 45 Ω

R₄ ∥ 45 = 9.474 Ω

R₃ + 9.474 = 12.47 Ω

R₂ ∥ 12.47 = 4.874 Ω

R_eq = R₁ + 4.874 = 25 + 4.874 = 29.87 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 10/29.87 = 0.3347 A

答え

I_R1 = 0.3347 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: W(∞) = 95.04 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 33 mH / 10 Ω = 3.3 ms

i(∞) = V_s/R = 24/10 = 2.4 A

蓄積エネルギー

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·33·2.4² = 95.04 mJ

答え

W(∞) = 95.04 mJ

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 7.901 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 6 V, v_C(∞) = V_s = 10 V

τ = R·C = 3.3 kΩ · 47 µF = 155.1 ms

v_C(t) = 10 + (6 − 10)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(100) = 10 + (−4)·e^−100/155.1 = 7.901 V

答え

v_C = 7.901 V

7.磁場と電磁誘導

答え: I = 600 mA

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

運動起電力

ε = BLv = 0.5·0.2·3 = 0.3 V

電流

I = ε/R = 0.3/0.5 = 0.6 A

答え

I = 600 mA

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 40 V

自己誘導起電力

起電力は電流の変化を妨げる（レンツ）ので、符号は ΔI と逆です。大きさは L·|ΔI|/Δt です。

ε = L·ΔI/Δt = 0.5·4/0.05 = 40 V

答え

ε = 40 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: φ = 11.98 °

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_L = ωL = 2π·500·0.15 = 471.2 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 120/100 = 1.2 A

I_X = V/X_L = 120/471.2 = 0.2546 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(1.2² + 0.2546²) = 1.227 A

位相角

コイルの電流は V より遅れるので、全電流も遅れ、角度は正です。

φ = arctan(I_X/I_R) = arctan(0.2546/1.2) = 11.98°

答え

φ = 11.98°

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 4.613

共振周波数

f₀ = 1/(2π·√(0.1·0.47·10⁻⁶)) = 734.1 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.1/(0.47·10⁻⁶)) = 4.613

答え

Q = 4.613

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