クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
2 つの同じ小さな金属球が −8 µC と −4 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 15 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = −8 µCq2 = −4 µCr = 15 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+6 µC と −6 µC の電荷が 10 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 6 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +6 µCq2 = −6 µCd = 10 cmh = 6 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 20 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R2 を流れる電流 IR2 を求めよ。
V1 = 36 VR1 = 30 ΩR2 = 8 ΩR3 = 8 ΩR4 = 8 ΩR5 = 30 ΩR6 = 30 Ω
IR2 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。
Vs = 10 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms
i = A
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 24 V に充電されている。 vC が 16.4 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 5 VR = 6.8 kΩC = 47 µFvC(0) = 24 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
電子 が、2 mT の一様な磁場に垂直に 1 × 10⁶ m/s で動きます。その円軌道の半径 r を求めてください。
m = 9.109 × 10⁻³¹ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cv = 1 × 10⁶ m/sB = 2 mT
r = cm
8.磁場と電磁誘導むずかしい
500 巻き、15 cm × 10 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.1 T の一様な磁場の中で 1200 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。
N = 500A = 15 cm × 10 cmB = 0.1 Tn = 1200 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 120 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 50 HzR = 100 ΩL = 150 mHC = 4.7 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、200 Hz の電源に接続する。 コンデンサの両端電圧の実効値 VC を求めよ。
V = 10 V (rms)f = 200 HzR = 40 ΩL = 20 mHC = 2.2 µF
VC = V
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 14.38 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触後の電荷
q′ = (−8 + −4)/2 = −6 µC
新しい力
F = 8.99 × 10⁹·(6 × 10⁻⁶)²/0.15² = 14.38 N
答え
F = 14.38 N
両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。
2.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.132 × 10⁷ N/C
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
1 つの電荷までの距離とその電場
r = √(5² + 6²) = 7.81 cm
E1 = k·6 × 10⁻⁶/0.0781² = 8.843 × 10⁶ N/C
成分
二等分線に沿った成分は打ち消し合います。
E = 2·E1·(a/r) = 2·8.843 × 10⁶·0.6402 = 1.132 × 10⁷ N/C
答え
E = 1.132 × 10⁷ N/C
電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 10.89 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 12 + 4 = 16 Ω
R2 ∥ 16 = 20·16/(20+16) = 8.889 Ω
Req = R1 + 8.889 = 2 + 8.889 = 10.89 Ω
答え
Req = 10.89 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: IR2 = 0.6674 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 30 + 30 = 60 Ω
R4 ∥ 60 = 7.059 Ω
R3 + 7.059 = 15.06 Ω
R2 ∥ 15.06 = 5.224 Ω
Req = R1 + 5.224 = 30 + 5.224 = 35.22 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 36/35.22 = 1.022 A
R₂ を流れる電流
R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。
VA = V1 − IR1·R1 = 36 − 1.022·30 = 5.34 V
IR2 = VA/R2 = 5.34/8 = 0.6674 A
答え
IR2 = 0.6674 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: i = 0.1062 A
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms
i(∞) = Vs/R = 10/47 = 0.2128 A
指定時刻の電流
i(t) = i(∞)·(1 − e−t/τ) = 0.2128·(1 − e−1/1.447) = 0.1062 A
答え
i = 0.1062 A
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 163.3 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 24 V, vC(∞) = Vs = 5 V
τ = R·C = 6.8 kΩ · 47 µF = 319.6 ms
vC(t) = 5 + (24 − 5)·e−t/τ
時間について解く
16.4 = 5 + (19)·e−t/τ → e−t/τ = (16.4 − 5)/(24 − 5) = 0.6
t = τ·ln((24 − 5)/(16.4 − 5)) = 319.6·ln(1.667) = 163.3 ms
答え
t = 163.3 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: r = 0.2843 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
力のつり合い
磁気力は常に速度に垂直なので、軌道を曲げて円にします。
|q|vB = mv²/r → r = mv/(|q|B)
半径
r = 9.109 × 10⁻³¹·1 × 10⁶/(1.602 × 10⁻¹⁹·0.002) = 0.002843 m = 0.2843 cm
答え
r = 0.2843 cm
8.磁場と電磁誘導
答え: E0 = 94.25 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·1200/60 = 125.7 rad/s
A = 0.015 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 500·0.1·0.015·125.7 = 94.25 V
答え
E0 = 94.25 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.1881 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.15 = 47.12 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·4.7·10⁻⁶) = 677.3 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(100² + (−630.1)²) = 638 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 120/638 = 0.1881 A
答え
I = 0.1881 A
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: VC = 10.67 V
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·200 = 1257 rad/s
XL = ωL = 1257·0.02 = 25.13 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(1257·2.2·10⁻⁶) = 361.7 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(40² + (−336.6)²) = 339 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 10/339 = 0.0295 A
コンデンサの電圧
VC = I·XC = 0.0295·361.7 = 10.67 V
答え
VC = 10.67 V
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