クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
2 つの同じ小さな金属球が +1 µC と +6 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 10 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².
q1 = +1 µCq2 = +6 µCr = 10 cm
F = N
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 1.5 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 6 cm、極板間の電場は 3600 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 1.5 × 10⁷ m/sL = 6 cmE = 3600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 24 VR1 = 15 ΩR2 = 15 ΩR3 = 5 ΩR4 = 4 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 10 VR1 = 5 ΩR2 = 12 ΩR3 = 20 ΩR4 = 3 ΩR5 = 3 ΩR6 = 12 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
電源 Vₛ は R₁ を通してコンデンサを充電し、R₂ は C と並列に接続されています。 t = 0 でスイッチが閉じるとき、コンデンサは充電されていない。 t = 50 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。
Vs = 12 VR1 = 3.3 kΩR2 = 10 kΩC = 10 µFt = 50 ms
vC = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
R2 の両端のスイッチは長い間閉じていたので、コイルの電流は定常である。t = 0 にスイッチが開く。 t = 1 ms でのコイルの電流 i を求めよ。
Vs = 9 VR1 = 15 ΩR2 = 47 ΩL = 22 mHt = 1 ms
i = A
7.磁場と電磁誘導ふつう
陽子 が、紙面の奥向き の一様な磁場の中を 紙面の上向き に動きます。それに働く磁気力の向きをクリックしてください。
v: 紙面の上向きB: 紙面の奥向き
- 1紙面の上向き
- 2右向き
- 3紙面の下向き
- 4左向き
8.磁場と電磁誘導むずかしい
重陽子 が静止状態から 2500 V の電位差で加速され、そのあと 0.1 T の一様な磁場に直角に入ります。磁場中での軌道の半径 r を求めてください。
m = 3.344 × 10⁻²⁷ kg|q| = 1.602 × 10⁻¹⁹ CV = 2500 VB = 0.1 T
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 24 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 24 V (rms)f = 1000 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 1 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
抵抗 R1 が、R2 とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 120 V (rms)f = 200 HzR1 = 20 ΩR2 = 50 ΩC = 22 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: F = 11.01 N
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
接触後の電荷
q′ = (1 + 6)/2 = 3.5 µC
新しい力
F = 8.99 × 10⁹·(3.5 × 10⁻⁶)²/0.1² = 11.01 N
答え
F = 11.01 N
両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 5.065 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.06/1.5 × 10⁷ = 4 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·3600/9.109 × 10⁻³¹ = 6.331 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·6.331 × 10¹⁴·(4 × 10⁻⁹)² = 0.005065 m = 5.065 mm
答え
y = 5.065 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: Req = 20.63 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 5 + 4 = 9 Ω
R2 ∥ 9 = 15·9/(15+9) = 5.625 Ω
Req = R1 + 5.625 = 15 + 5.625 = 20.63 Ω
答え
Req = 20.63 Ω
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.7797 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 3 + 12 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 2.5 Ω
R3 + 2.5 = 22.5 Ω
R2 ∥ 22.5 = 7.826 Ω
Req = R1 + 7.826 = 5 + 7.826 = 12.83 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 10/12.83 = 0.7797 A
答え
IR1 = 0.7797 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vC = 7.82 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサから見たテブナン等価回路
電源を短絡して Rth を求め、コンデンサを開放して最終的に落ち着く電圧を求めます。
Rth = R1 ∥ R2 = 3.3·10/(3.3 + 10) = 2.481 kΩ
vC(∞) = 12·10/(3.3 + 10) = 9.023 V
時定数
τ = Rth·C = 2.481·10 = 24.81 ms
充電曲線
vC(t) = 9.023·(1 − e−50/24.81) = 7.82 V
答え
vC = 7.82 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: i = 0.1723 A
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
t = 0 より前は閉じたスイッチが R₂ を短絡していますが、その後は R₁ と R₂ の両方がループに入ります。
i(0) = 9/15 = 0.6 A
i(∞) = 9/(15 + 47) = 0.1452 A
τ = L/R = 22/62 = 0.3548 ms
i(t) = 0.1452 + (0.6 − 0.1452)·e−t/τ
指定時刻の電流
i(1) = 0.1452 + (0.4548)·e−1/0.3548 = 0.1723 A
答え
i = 0.1723 A
7.磁場と電磁誘導
答え: 左向き
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手の法則
指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。
v: 紙面の上向き, B: 紙面の奥向き
力の向き
左向き
答え
F: 左向き
8.磁場と電磁誘導
答え: r = 10.22 cm
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
加速後の速さ
v = √(2|q|V/m) = √(2·1.602 × 10⁻¹⁹·2500/(3.344 × 10⁻²⁷)) = 489422 m/s
磁場中での半径
r = mv/(|q|B) = 0.1022 m = 10.22 cm
答え
r = 10.22 cm
まとめると r = √(2mV/|q|)/B となり、電荷が同じなら重いイオンほど大きな円を描きます。これで同位体を分離します。
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 0.1444 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.05 = 314.2 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·1·10⁻⁶) = 159.2 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(60² + (155)²) = 166.2 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 24/166.2 = 0.1444 A
答え
I = 0.1444 A
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 2.72 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XC = 1/(2π·200·22·10⁻⁶) = 36.17 Ω
並列回路
分子と分母に共役複素数を掛けて、Zp を実部と虚部に分けます。
Zp = R₂·(−jXC)/(R₂ − jXC) = (R₂·XC² − jR₂²·XC)/(R₂² + XC²)
Zp = 17.18 − j23.74 Ω
合成インピーダンス
Z = 20 + 17.18 − j23.74 = 37.18 − j23.74 Ω
|Z| = √(37.18² + 23.74²) = 44.11 Ω
電流
I = V/|Z| = 120/44.11 = 2.72 A
答え
I = 2.72 A
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