クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+1 µC と +3 µC の電荷が 60 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+1 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。
q1 = +1 µCq2 = +3 µCd = 60 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 4 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 10 cm、極板間の電場は 600 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 10 cmE = 600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 4 ΩR2 = 3 ΩR3 = 10 ΩR4 = 4 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 5 ΩR2 = 20 ΩR3 = 3 ΩR4 = 25 ΩR5 = 20 ΩR6 = 20 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 10 ms でコイルに蓄えられているエネルギー W を mJ で求めよ。
Vs = 15 VR = 22 ΩL = 150 mHt = 10 ms
W = mJ
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 8 V に充電されている。 vC が 8.4 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。
Vs = 9 VR = 2.2 kΩC = 22 µFvC(0) = 8 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
500 巻き、面積 40 cm²、抵抗 8 Ω のコイルが閉回路をつくっています。コイルに垂直な一様な磁場が、10 ms で 0.05 T から 0.25 T まで一定の割合で増加します。 平均誘導電流 I を求めてください。
N = 500A = 40 cm²B: 0.05 T → 0.25 TΔt = 10 msR = 8 Ω
I = A
8.磁場と電磁誘導むずかしい
500 巻き、5 cm × 5 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.25 T の一様な磁場の中で 3000 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。
N = 500A = 5 cm × 5 cmB = 0.25 Tn = 3000 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 10 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。 インピーダンスの位相角 φ を度で求めよ（電流が電圧より遅れるとき正）。
V = 10 V (rms)f = 50 HzR = 80 ΩL = 100 mHC = 10 µF
φ = °
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路の R = 100 Ω、L = 50 mH、C = 0.1 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。
R = 100 ΩL = 50 mHC = 0.1 µF
Q =
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: x = 21.96 cm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
電場が等しい
1/x² = 3/(60 − x)²
(60 − x)/x = √(3/1) = 1.732
位置
x = 60/(1 + 1.732) = 21.96 cm
答え
x = 21.96 cm
電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 0.3298 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.1/4 × 10⁷ = 2.5 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·600/9.109 × 10⁻³¹ = 1.055 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·1.055 × 10¹⁴·(2.5 × 10⁻⁹)² = 0.0003298 m = 0.3298 mm
答え
y = 0.3298 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 4.636 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 10 + 4 = 14 Ω
R2 ∥ 14 = 3·14/(3+14) = 2.471 Ω
Req = R1 + 2.471 = 4 + 2.471 = 6.471 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 30/6.471 = 4.636 A
答え
IR1 = 4.636 A
4.抵抗の直列・並列
答え: Req = 14.58 Ω
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 20 + 20 = 40 Ω
R4 ∥ 40 = 15.38 Ω
R3 + 15.38 = 18.38 Ω
R2 ∥ 18.38 = 9.579 Ω
Req = R1 + 9.579 = 5 + 9.579 = 14.58 Ω
答え
Req = 14.58 Ω
5.RC・RL 過渡現象
答え: W = 20.63 mJ
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 150 mH / 22 Ω = 6.818 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0.6818 A
指定時刻の電流
i(t) = 0.6818·(1 − e−10/6.818) = 0.5245 A
蓄積エネルギー
W = ½·L·i² = ½·150·0.5245² = 20.63 mJ
答え
W = 20.63 mJ
6.RC・RL 過渡現象
答え: t = 24.72 ms
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
初期値、最終値、時定数
コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。
vC(0) = 8 V, vC(∞) = Vs = 9 V
τ = R·C = 2.2 kΩ · 22 µF = 48.4 ms
vC(t) = 9 + (8 − 9)·e−t/τ
時間について解く
8.4 = 9 + (−1)·e−t/τ → e−t/τ = (8.4 − 9)/(8 − 9) = 0.6
t = τ·ln((8 − 9)/(8.4 − 9)) = 48.4·ln(1.667) = 24.72 ms
答え
t = 24.72 ms
7.磁場と電磁誘導
答え: I = 5 A
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
1 巻きあたりの磁束の変化
ΔΦ = (0.25 − 0.05)·0.004 = 0.0008 Wb
平均起電力
ε = NΔΦ/Δt = 500·0.0008/0.01 = 40 V
電流
I = ε/R = 40/8 = 5 A
答え
I = 5 A
8.磁場と電磁誘導
答え: E0 = 98.17 V
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
角速度と面積
ω = 2π·3000/60 = 314.2 rad/s
A = 0.0025 m²
ピーク起電力
E₀ = NBAω = 500·0.25·0.0025·314.2 = 98.17 V
答え
E0 = 98.17 V
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: φ = −74.42 °
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s
XL = ωL = 314.2·0.1 = 31.42 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(80² + (−286.9)²) = 297.8 Ω
位相角
φ = arctan((XL − XC)/R) = arctan(−286.9/80) = −74.42°
答え
φ = −74.42°
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: Q = 7.071
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
共振周波数
f0 = 1/(2π·√(0.05·0.1·10⁻⁶)) = 2251 Hz
Q 値
Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。
Q = (1/R)·√(L/C) = (1/100)·√(0.05/(0.1·10⁻⁶)) = 7.071
答え
Q = 7.071
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