物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++2 µC−−10 µCP50 cm

+2 µC の電荷と −10 µC の電荷が 50 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 30 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q1 = +2 µCq2 = −10 µCr1 = 30 cmr2 = 20 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
4 cm6 cm+q1​ = +8 µC+q3​ = +6 µC+q2​ = +5 µC

3 つの正の点電荷が直角三角形の頂点にある：q₃ = 6 µC は直角の頂点に、q₁ = 8 µC はそこから一方の辺に沿って 4 cm の位置に、q₂ = 5 µC はもう一方の辺に沿って 6 cm の位置にある。q₃ にはたらく静電気力の合力の大きさ F を求めよ。

q1 = 8 µCq2 = 5 µCq3 = 6 µCr13 = 4 cmr23 = 6 cm
F = N
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 15 ΩIR1​R3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。

V1 = 12 VR1 = 15 ΩR2 = 4 ΩR3 = 10 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBR6​8 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 5 VR1 = 3 ΩR2 = 3 ΩR3 = 25 ΩR4 = 3 ΩR5 = 25 ΩR6 = 8 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​15 Vt = 0R = 22 ΩL100 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 スイッチを閉じてからどれだけ後に、電流が最終値の 99% に達するか。t を求めよ。

Vs = 15 VR = 22 ΩL = 100 mH
t = ms
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​30 Vt = 0 で開くR1​ = 3.3 kΩR2​ = 3.3 kΩC100 µF+−vC​

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 500 ms におけるコンデンサの電圧 vC を求めよ。

Vs = 30 VR1 = 3.3 kΩR2 = 3.3 kΩC = 100 µFt = 500 ms
vC = V
7.磁場と電磁誘導ふつう
15 A25 Ad = 5 cmP

5 cm 離れた 2 本の長い平行な導線に、逆向きに 15 A と 25 A の電流が流れています。両者のちょうど中間の点 P での磁束密度の大きさ B を求めてください。

I1 = 15 AI2 = 25 Ad = 5 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
B = µT
8.磁場と電磁誘導むずかしい
Bn = 3600 rpm8 cm × 15 cmN = 100B = 0.25 T

100 巻き、8 cm × 15 cm のコイルが、磁場に垂直な軸のまわりに、0.25 T の一様な磁場の中で 3600 rpm で回転します。ピーク起電力 E0 を求めてください。

N = 100A = 8 cm × 15 cmB = 0.25 Tn = 3600 rpm
E0 = V
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
12 V1000 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 22 µFI

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、1000 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 1000 HzR = 10 ΩL = 20 mHC = 22 µF
I = A
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
2 Vf0​R = 15 ΩL = 200 mHC = 0.47 µF

直列 RLC 回路を、周波数を回路の共振周波数に設定した 2 V（実効値）の電源で駆動する。コイルの両端の電圧の実効値 VL を求めよ。

V = 2 V (rms)R = 15 ΩL = 200 mHC = 0.47 µF
VL = V

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 2.447 × 10⁶ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.3² = 199778 N/C
E2 = k·10 × 10⁻⁶/0.2² = 2.247 × 10⁶ N/C

向きと合成

1 つ目の電場は正電荷から遠ざかる向き、2 つ目の電場は負電荷に近づく向きなので、どちらも同じ向きです。

E = |199778 + 2.247 × 10⁶| = 2.447 × 10⁶ N/C

答え

E = 2.447 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場

答え: F = 279.9 N

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

q₃ にはたらく各力

F1 = k·8·6 × 10⁻¹²/0.04² = 269.7 N
F2 = k·5·6 × 10⁻¹²/0.06² = 74.92 N

ベクトル和

F = √(269.7² + 74.92²) = 279.9 N

答え

F = 279.9 N
3.抵抗の直列・並列

答え: IR1 = 0.6527 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 15 ΩR3​ = 10 Ω+−V1​12 VR2​4 ΩAR4​12 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 10 + 12 = 22 Ω
R2 ∥ 22 = 4·22/(4+22) = 3.385 Ω
Req = R1 + 3.385 = 15 + 3.385 = 18.38 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

IR1 = V1/Req = 12/18.38 = 0.6527 A

答え

IR1 = 0.6527 A
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 5.707 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 3 ΩR3​ = 25 ΩR5​ = 25 Ω+−V1​5 VR2​3 ΩAR4​3 ΩBR6​8 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 25 + 8 = 33 Ω
R4 ∥ 33 = 2.75 Ω
R3 + 2.75 = 27.75 Ω
R2 ∥ 27.75 = 2.707 Ω
Req = R1 + 2.707 = 3 + 2.707 = 5.707 Ω

答え

Req = 5.707 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: t = 20.93 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 100 mH / 22 Ω = 4.545 ms
i(∞) = Vs/R = 15/22 = 0.6818 A

時間について解く

0.99 = 1 − e−t/τ → t = −τ·ln(1 − 0.99)
t = −4.545·ln(0.01) = 20.93 ms

答え

t = 20.93 ms
6.RC・RL 過渡現象

答え: vC = 3.297 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

vC(0) = 30·3.3/(3.3 + 3.3) = 15 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R2·C = 3.3·100 = 330 ms

放電

vC(t) = 15·e−500/330 = 3.297 V

答え

vC = 3.297 V
7.磁場と電磁誘導

答え: B = 320 µT

電流がつくる磁場：長い直線導線のまわりでは、磁力線は円になり（右手の法則）、B = μ₀I/(2πr) です。N 巻きの平らな円形コイルの中心では B = μ₀NI/(2R) です。長いソレノイドの内部では磁場は一様で、半径によらず B = μ₀nI、n = N/L は 1 メートルあたりの巻き数です。μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A。SI 単位（メートルとアンペア）で計算し、複数の源による磁場はベクトルとして足します。

P での各導線の磁場

B1 = 2 × 10⁻⁷·15/0.025 = 120 µT
B2 = 2 × 10⁻⁷·25/0.025 = 200 µT

組み合わせる

B = B₁ + B₂ = 320 µT

答え

B = 320 µT
8.磁場と電磁誘導

答え: E0 = 113.1 V

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

角速度と面積

ω = 2π·3600/60 = 377 rad/s
A = 0.012 m²

ピーク起電力

E₀ = NBAω = 100·0.25·0.012·377 = 113.1 V

答え

E0 = 113.1 V
9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.101 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·1000 = 6283 rad/s
XL = ωL = 6283·0.02 = 125.7 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(6283·22·10⁻⁶) = 7.234 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。

|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(10² + (118.4)²) = 118.9 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/118.9 = 0.101 A

答え

I = 0.101 A
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: VL = 86.98 V

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振

共振時にはリアクタンスが打ち消し合うので、インピーダンスは R だけです。

ω₀ = 1/√(LC) = 1/√(0.2·0.47·10⁻⁶) = 3262 rad/s
I = V/R = 2/15 = 0.1333 A

コイルの両端の電圧

XL = ω₀L = 3262·0.2 = 652.3 Ω
VL = I·XL = 0.1333·652.3 = 86.98 V

答え

VL = 86.98 V

これは電源電圧の Q = 43.49 倍です。

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