物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則
F = k·|q1q2|/r²
点電荷のつくる電場
E = k·|q|/r²
定数
k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力
F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続
Req = R1 + R2 + …
抵抗の並列接続
1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
2 つの並列接続
Req = R1R2 / (R1 + R2)
オームの法則
V = I·R
電力
P = V·I = I²R = V²/R

解き方

  1. 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
  2. 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
  3. 1 ステップごとに回路を描き直します。
  4. 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数
τ = RC | τ = L/R
応答
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
直流でのコンデンサ
開放；vC は急変しない
直流でのインダクタ
短絡；iL は急変しない
定常値
t ≈ 5τ

解き方

  1. 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
  2. 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
  3. 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
  4. x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線
B = μ0I/(2πr)
平らなコイルの中心
B = μ0NI/(2R)
長いソレノイド
B = μ0nI, n = N/L
定数
μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力
F = BIL·sin θ
電荷が受ける力
F = |q|vB·sin θ
円運動
r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線
F/L = μ0I1I2/(2πd)
磁束
Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則
ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒
ε = BLv
発電機
E0 = NBAω, Erms = E0/√2
インダクタンス
ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス
ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
速度選択器と質量分析計
v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

  1. すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
  2. 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
  3. 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
  4. 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス
ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
角周波数
ω = 2πf
大きさと偏角
|Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則
V = I·Z

解き方

  1. 周波数を換算します：ω = 2πf。
  2. 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
  3. インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
  4. 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう
++4 µC++3 µCE = 030 cm

+4 µC と +3 µC の電荷が 30 cm 離れている。両者を結ぶ線上で、+4 µC の電荷からどれだけの距離 x の点で電場が 0 になるか。

q1 = +4 µCq2 = +3 µCd = 30 cm
x = cm
2.クーロンの法則と電場むずかしい
+−P2 × 4 cm6 cm+5 µC−5 µC

+5 µC と −5 µC の電荷が 8 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 6 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q1 = +5 µCq2 = −5 µCd = 8 cmh = 6 cm
E = N/C
3.抵抗の直列・並列ふつう
R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 18 VR1 = 6 ΩR2 = 6 ΩR3 = 2 ΩR4 = 5 Ω
Req = Ω
4.抵抗の直列・並列むずかしい
R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

電源 V1 から見た合成抵抗 Req を求めよ。

V1 = 6 VR1 = 2 ΩR2 = 3 ΩR3 = 2 ΩR4 = 25 ΩR5 = 10 ΩR6 = 5 Ω
Req = Ω
5.RC・RL 過渡現象ふつう
+−Vs​15 Vt = 0R = 47 ΩL68 mHi(t)

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。

Vs = 15 VR = 47 ΩL = 68 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
+−Vs​24 Vt = 0R = 3.3 kΩC100 µF+−vC​vC​(0) = 18 V

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 18 V に充電されている。 vC が 22.2 V に達するまでの時間はいくらか。t を求めよ。

Vs = 24 VR = 3.3 kΩC = 100 µFvC(0) = 18 V
t = ms
7.磁場と電磁誘導ふつう
IBF = ?

導線に 右向き の電流が流れ、紙面の奥向き の一様な磁場の中にあります。導線に働く磁気力の向きをクリックしてください。

I: 右向きB: 紙面の奥向き
  1. 1紙面の上向き
  2. 2右向き
  3. 3紙面の下向き
  4. 4左向き
8.磁場と電磁誘導むずかしい
V = 1000 VB = 0.2 Tr = ?

Α粒子 が静止状態から 1000 V の電位差で加速され、そのあと 0.2 T の一様な磁場に直角に入ります。磁場中での軌道の半径 r を求めてください。

m = 6.645 × 10⁻²⁷ kg|q| = 3.204 × 10⁻¹⁹ CV = 1000 VB = 0.2 T
r = cm
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
100 V100 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 22 µFI

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 100 mHC = 22 µF
P = W
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
VfR = 15 ΩL = 100 mHC = 0.47 µF

直列 RLC 回路の R = 15 Ω、L = 100 mH、C = 0.47 µF である。 共振時の Q 値（尖鋭度）Q を求めよ。

R = 15 ΩL = 100 mHC = 0.47 µF
Q =

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: x = 16.08 cm

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

電場が等しい

4/x² = 3/(30 − x)²
(30 − x)/x = √(3/4) = 0.866

位置

x = 30/(1 + 0.866) = 16.08 cm

答え

x = 16.08 cm

電場が 0 になる点は常に小さい方の電荷に近くなります。

2.クーロンの法則と電場

答え: E = 9.59 × 10⁶ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

1 つの電荷までの距離とその電場

r = √(4² + 6²) = 7.211 cm
E1 = k·5 × 10⁻⁶/0.07211² = 8.644 × 10⁶ N/C

成分

二等分線に沿った成分は打ち消し合います。

E = 2·E1·(a/r) = 2·8.644 × 10⁶·0.5547 = 9.59 × 10⁶ N/C

答え

E = 9.59 × 10⁶ N/C

電場は電荷を結ぶ線に平行で、正電荷から負電荷に向かう向きです。

3.抵抗の直列・並列

答え: Req = 9.231 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 6 ΩR3​ = 2 Ω+−V1​18 VR2​6 ΩAR4​5 ΩB

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R3 + R4 = 2 + 5 = 7 Ω
R2 ∥ 7 = 6·7/(6+7) = 3.231 Ω
Req = R1 + 3.231 = 6 + 3.231 = 9.231 Ω

答え

Req = 9.231 Ω
4.抵抗の直列・並列

答え: Req = 4.374 Ω

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

R1​ = 2 ΩR3​ = 2 ΩR5​ = 10 Ω+−V1​6 VR2​3 ΩAR4​25 ΩBR6​5 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R5 + R6 = 10 + 5 = 15 Ω
R4 ∥ 15 = 9.375 Ω
R3 + 9.375 = 11.38 Ω
R2 ∥ 11.38 = 2.374 Ω
Req = R1 + 2.374 = 2 + 2.374 = 4.374 Ω

答え

Req = 4.374 Ω
5.RC・RL 過渡現象

答え: vL = 7.515 V

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 68 mH / 47 Ω = 1.447 ms
i(∞) = Vs/R = 15/47 = 0.3191 A

コイルの電圧

t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。

vL(t) = Vs·e−t/τ = 15·e−1/1.447 = 7.515 V

答え

vL = 7.515 V
6.RC・RL 過渡現象

答え: t = 397.3 ms

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

vC(0) = 18 V, vC(∞) = Vs = 24 V
τ = R·C = 3.3 kΩ · 100 µF = 330 ms
vC(t) = 24 + (18 − 24)·e−t/τ

時間について解く

22.2 = 24 + (−6)·e−t/τ → e−t/τ = (22.2 − 24)/(18 − 24) = 0.3
t = τ·ln((18 − 24)/(22.2 − 24)) = 330·ln(3.333) = 397.3 ms

答え

t = 397.3 ms
7.磁場と電磁誘導

答え: 紙面の上向き

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

右手の法則

指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。

I: 右向き, B: 紙面の奥向き

力の向き

紙面の上向き

答え

F: 紙面の上向き
8.磁場と電磁誘導

答え: r = 3.22 cm

磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。

加速後の速さ

v = √(2|q|V/m) = √(2·3.204 × 10⁻¹⁹·1000/(6.645 × 10⁻²⁷)) = 310537 m/s

磁場中での半径

r = mv/(|q|B) = 0.0322 m = 3.22 cm

答え

r = 3.22 cm

まとめると r = √(2mV/|q|)/B となり、電荷が同じなら重いイオンほど大きな円を描きます。これで同位体を分離します。

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: P = 407.8 W

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

XL = 62.83 Ω, XC = 72.34 Ω

インピーダンス

|Z| = √(20² + (−9.511)²) = 22.15 Ω

有効電力

コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。

I = 100/22.15 = 4.515 A
P = I²·R = 4.515²·20 = 407.8 W

答え

P = 407.8 W
10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: Q = 30.75

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

共振周波数

f0 = 1/(2π·√(0.1·0.47·10⁻⁶)) = 734.1 Hz

Q 値

Q は共振時のリアクタンスを抵抗と比べたものです：Q = ω₀L/R。

Q = (1/R)·√(L/C) = (1/15)·√(0.1/(0.47·10⁻⁶)) = 30.75

答え

Q = 30.75

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