物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

2 つの同じ小さな金属球が −8 µC と −2 µC の電荷をもっている。両者を接触させてから 25 cm 離して置く。このときの両者の間の力の大きさ F を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = −8 µCq₂ = −2 µCr = 25 cm

F = N

2.クーロンの法則と電場むずかしい

それぞれ質量 8 g の 2 つの同じ小球が、長さ 20 cm の絶縁性の糸で同じ点からつり下げられている。等しい電荷を与えると、各糸は鉛直から 5° の位置で静止する。g = 9.81 m/s² とする。各球の電荷 q を nC で求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

m = 8 gL = 20 cmθ = 5°g = 9.81 m/s²

q = nC

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 6 ΩR₂ = 2 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 3 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

電源 V₁ から見た合成抵抗 R_eq を求めよ。

V₁ = 10 VR₁ = 30 ΩR₂ = 5 ΩR₃ = 8 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 8 ΩR₆ = 30 Ω

R_eq = Ω

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。回路が落ち着いた後にコイルに蓄えられているエネルギー W(∞) を mJ で求めよ。

V_s = 6 VR = 5 ΩL = 47 mH

W(∞) = mJ

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

t = 0 でスイッチが閉じる直前、コンデンサは図の極性で 2 V に充電されている。 t = 25 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 12 VR = 1 kΩC = 68 µFv_C(0) = 2 Vt = 25 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

長さ 40 cm の金属の棒が、紙面の奥向きの 0.8 T の一様な磁場の中で、2 本のレール上を 2.5 m/s で滑ります。レールは 4 Ω の抵抗でつながれており、棒とレールの抵抗は無視できます。電流 I を求めてください。

B = 0.8 TL = 40 cmv = 2.5 m/sR = 4 Ω

I = mA

8.磁場と電磁誘導むずかしい

自己インダクタンスが 40 mH と 20 mH の 2 つのコイルの結合係数は 0.3 です。1 つ目のコイルの電流は 20 A/s の割合で変化します。2 つ目のコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。

L₁ = 40 mHL₂ = 20 mHk = 0.3di/dt = 20 A/s

ε = V

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

直列 RLC 回路を 12 V（実効値）、50 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 12 V (rms)f = 50 HzR = 60 ΩL = 50 mHC = 10 µF

I = A

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

直列 RLC 回路を 100 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。電流の実効値 I を求めよ。

V = 100 V (rms)f = 100 HzR = 40 ΩL = 50 mHC = 4.7 µF

I = A

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: F = 3.596 N

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

接触後の電荷

q′ = (−8 + −2)/2 = −5 µC

新しい力

F = 8.99 × 10⁹·(5 × 10⁻⁶)²/0.25² = 3.596 N

答え

F = 3.596 N

両方の球は同じ符号の電荷をもつようになったので、反発し合います。

2.クーロンの法則と電場

答え: q = 30.47 nC

つり合いからの電気力

張力の水平成分は F と、鉛直成分は m·g とつり合います。

F = m·g·tan θ = 0.008·9.81·tan 5° = 0.006866 N

間隔

r = 2·L·sin θ = 2·0.2·sin 5° = 0.03486 m

電荷

F = k·q²/r² → q = r·√(F/k) = 0.03486·√(0.006866/8.99 × 10⁹) = 3.047 × 10⁻⁸ C = 30.47 nC

答え

q = 30.47 nC

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 1.95 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 8 + 3 = 11 Ω

R₂ ∥ 11 = 2·11/(2+11) = 1.692 Ω

R_eq = R₁ + 1.692 = 6 + 1.692 = 7.692 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/7.692 = 1.95 A

答え

I_R1 = 1.95 A

4.抵抗の直列・並列

答え: R_eq = 33.32 Ω

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 8 + 30 = 38 Ω

R₄ ∥ 38 = 1.9 Ω

R₃ + 1.9 = 9.9 Ω

R₂ ∥ 9.9 = 3.322 Ω

R_eq = R₁ + 3.322 = 30 + 3.322 = 33.32 Ω

答え

R_eq = 33.32 Ω

5.RC・RL 過渡現象

答え: W(∞) = 33.84 mJ

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 47 mH / 5 Ω = 9.4 ms

i(∞) = V_s/R = 6/5 = 1.2 A

蓄積エネルギー

W(∞) = ½·L·i(∞)² = ½·47·1.2² = 33.84 mJ

答え

W(∞) = 33.84 mJ

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 5.076 V

初期値、最終値、時定数

コンデンサの電圧は急変できないので、蓄えた値から始まり、電源電圧へ向かいます。

v_C(0) = 2 V, v_C(∞) = V_s = 12 V

τ = R·C = 1 kΩ · 68 µF = 68 ms

v_C(t) = 12 + (2 − 12)·e^−t/τ

指定時刻の電圧

v_C(25) = 12 + (−10)·e^−25/68 = 5.076 V

答え

v_C = 5.076 V

7.磁場と電磁誘導

答え: I = 200 mA

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

運動起電力

ε = BLv = 0.8·0.4·2.5 = 0.8 V

電流

I = ε/R = 0.8/4 = 0.2 A

答え

I = 200 mA

8.磁場と電磁誘導

答え: ε = 0.1697 V

相互インダクタンス

M = 0.3·√(40·20) = 8.485 mH

誘導起電力

ε = M·di/dt = 0.008485·20 = 0.1697 V

答え

ε = 0.1697 V

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.0389 A

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·50 = 314.2 rad/s

X_L = ωL = 314.2·0.05 = 15.71 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(314.2·10·10⁻⁶) = 318.3 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(60² + (−302.6)²) = 308.5 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 12/308.5 = 0.0389 A

答え

I = 0.0389 A

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: I = 0.3228 A

リアクタンス

ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s

X_L = ωL = 628.3·0.05 = 31.42 Ω

X_C = 1/(ωC) = 1/(628.3·4.7·10⁻⁶) = 338.6 Ω

インピーダンス

直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(X_L − X_C)。

|Z| = √(R² + (X_L − X_C)²) = √(40² + (−307.2)²) = 309.8 Ω

電流

直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。

I = V/|Z| = 100/309.8 = 0.3228 A

答え

I = 0.3228 A

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