物理学 II：電磁気学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

クーロンの法則と電場

クーロンの法則: F = k·|q₁q₂|/r²
点電荷のつくる電場: E = k·|q|/r²
定数: k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
電荷が受ける力: F = q·E

抵抗の直列・並列

抵抗の直列接続: R_eq = R₁ + R₂ + …
抵抗の並列接続: 1/R_eq = 1/R₁ + 1/R₂ + …
2 つの並列接続: R_eq = R₁R₂ / (R₁ + R₂)
オームの法則: V = I·R
電力: P = V·I = I²R = V²/R

解き方

端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
1 ステップごとに回路を描き直します。
端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。

RC・RL 過渡現象

時定数: τ = RC | τ = L/R
応答: x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ
直流でのコンデンサ: 開放；v_C は急変しない
直流でのインダクタ: 短絡；i_L は急変しない
定常値: t ≈ 5τ

解き方

切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ を使います。

磁場と電磁誘導

長い直線導線: B = μ₀I/(2πr)
平らなコイルの中心: B = μ₀NI/(2R)
長いソレノイド: B = μ₀nI, n = N/L
定数: μ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
導線に働く力: F = BIL·sin θ
電荷が受ける力: F = |q|vB·sin θ
円運動: r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
平行導線: F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)
磁束: Φ = BA·cos θ
ファラデーの法則: ε = −N·ΔΦ/Δt
動く棒: ε = BLv
発電機: E₀ = NBAω, E_rms = E₀/√2
インダクタンス: ε = L·ΔI/Δt, L = μ₀N²A/l, W = ½LI²
相互インダクタンス: ε₂ = M·di₁/dt, M = k√(L₁L₂)
速度選択器と質量分析計: v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B

解き方

すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。

交流インピーダンスとフェーザ

インピーダンス: Z_R = R, Z_L = jωL, Z_C = 1/(jωC)
角周波数: ω = 2πf
大きさと偏角: |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
フェーザ表示のオームの法則: V = I·Z

解き方

周波数を換算します：ω = 2πf。
各リアクタンスを求めます：X_L = ωL、X_C = 1/(ωC)。
インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。

2演習問題

1.クーロンの法則と電場ふつう

+8 µC の電荷と +5 µC の電荷が 20 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 15 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。

q₁ = +8 µCq₂ = +5 µCr₁ = 15 cmr₂ = 5 cm

E = N/C

2.クーロンの法則と電場むずかしい

+8 µC と +8 µC の電荷が 6 cm 離れている。点 P は両者の中点から垂直二等分線上を 8 cm 離れた位置にある。P における電場の大きさ E を求めよ。 Use k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C².

q₁ = +8 µCq₂ = +8 µCd = 6 cmh = 8 cm

E = N/C

3.抵抗の直列・並列ふつう

電源が供給し R₁ を流れる電流 I_R1 を求めよ。

V₁ = 15 VR₁ = 20 ΩR₂ = 15 ΩR₃ = 20 ΩR₄ = 2 Ω

I_R1 = A

4.抵抗の直列・並列むずかしい

R₂ を流れる電流 I_R2 を求めよ。

V₁ = 6 VR₁ = 8 ΩR₂ = 10 ΩR₃ = 3 ΩR₄ = 2 ΩR₅ = 6 ΩR₆ = 5 Ω

I_R2 = A

5.RC・RL 過渡現象ふつう

t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms における電流 i を求めよ。

V_s = 12 VR = 33 ΩL = 47 mHt = 1 ms

i = A

6.RC・RL 過渡現象むずかしい

スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 50 ms におけるコンデンサの電圧 v_C を求めよ。

V_s = 12 VR₁ = 6.8 kΩR₂ = 2.2 kΩC = 68 µFt = 50 ms

v_C = V

7.磁場と電磁誘導ふつう

100 巻き、面積 20 cm²、抵抗 4 Ω のコイルが閉回路をつくっています。コイルに垂直な一様な磁場が、500 ms で 0 T から 0.1 T まで一定の割合で増加します。平均誘導電流 I を求めてください。

N = 100A = 20 cm²B: 0 T → 0.1 TΔt = 500 msR = 4 Ω

I = mA

8.磁場と電磁誘導むずかしい

50 巻きの短いコイルが、1500 巻き、長さ 25 cm、直径 3 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。両者の相互インダクタンス M を求めてください。

N₁ = 1500N₂ = 50l = 25 cm⌀ = 3 cmμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A

M = µH

9.交流インピーダンスとフェーザふつう

抵抗とコンデンサが並列に、120 V（実効値）、200 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 120 V (rms)f = 200 HzR = 50 ΩC = 10 µF

|Z| = Ω

10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい

抵抗 R₁ が、R₂ とコンデンサ C の並列回路と直列に接続され、24 V（実効値）、60 Hz の電源に接続されている。インピーダンスの大きさ |Z| を求めよ。

V = 24 V (rms)f = 60 HzR₁ = 50 ΩR₂ = 30 ΩC = 100 µF

|Z| = Ω

3溶液

1.クーロンの法則と電場

答え: E = 1.478 × 10⁷ N/C

クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。

各電荷による電場

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0.15² = 3.196 × 10⁶ N/C

E₂ = k·5 × 10⁻⁶/0.05² = 1.798 × 10⁷ N/C

向きと合成

どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。

E = |3.196 × 10⁶ − 1.798 × 10⁷| = 1.478 × 10⁷ N/C

答え

E = 1.478 × 10⁷ N/C

2.クーロンの法則と電場

答え: E = 1.845 × 10⁷ N/C

Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.

1 つの電荷までの距離とその電場

r = √(3² + 8²) = 8.544 cm

E₁ = k·8 × 10⁻⁶/0.08544² = 9.852 × 10⁶ N/C

成分

電荷を結ぶ線に沿った成分は打ち消し合います。

E = 2·E₁·(h/r) = 2·9.852 × 10⁶·0.9363 = 1.845 × 10⁷ N/C

答え

E = 1.845 × 10⁷ N/C

電場は二等分線に沿って、電荷から離れる向きです。

3.抵抗の直列・並列

答え: I_R1 = 0.5187 A

直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₃ + R₄ = 20 + 2 = 22 Ω

R₂ ∥ 22 = 15·22/(15+22) = 8.919 Ω

R_eq = R₁ + 8.919 = 20 + 8.919 = 28.92 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 15/28.92 = 0.5187 A

答え

I_R1 = 0.5187 A

4.抵抗の直列・並列

答え: I_R2 = 0.1712 A

遠い端から抵抗をまとめる

電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。

R₅ + R₆ = 6 + 5 = 11 Ω

R₄ ∥ 11 = 1.692 Ω

R₃ + 1.692 = 4.692 Ω

R₂ ∥ 4.692 = 3.194 Ω

R_eq = R₁ + 3.194 = 8 + 3.194 = 11.19 Ω

電源からの電流

電源から見えるのは R_eq だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。

I_R1 = V₁/R_eq = 6/11.19 = 0.536 A

R₂ を流れる電流

R₁ の電圧降下を引くと節点 A の電圧、つまり R₂ の両端電圧が得られます。

V_A = V₁ − I_R1·R₁ = 6 − 0.536·8 = 1.712 V

I_R2 = V_A/R₂ = 1.712/10 = 0.1712 A

答え

I_R2 = 0.1712 A

5.RC・RL 過渡現象

答え: i = 0.1834 A

1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e^−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。

時定数と最終電流

スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。

τ = L/R = 47 mH / 33 Ω = 1.424 ms

i(∞) = V_s/R = 12/33 = 0.3636 A

指定時刻の電流

i(t) = i(∞)·(1 − e^−t/τ) = 0.3636·(1 − e^−1/1.424) = 0.1834 A

答え

i = 0.1834 A

6.RC・RL 過渡現象

答え: v_C = 2.1 V

コンデンサの初期電圧

定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。

v_C(0) = 12·2.2/(6.8 + 2.2) = 2.933 V

スイッチが開いた後の時定数

τ = R₂·C = 2.2·68 = 149.6 ms

放電

v_C(t) = 2.933·e^−50/149.6 = 2.1 V

答え

v_C = 2.1 V

7.磁場と電磁誘導

答え: I = 10 mA

電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。

1 巻きあたりの磁束の変化

ΔΦ = (0.1 − 0)·0.002 = 0.0002 Wb

平均起電力

ε = NΔΦ/Δt = 100·0.0002/0.5 = 0.04 V

電流

I = ε/R = 0.04/4 = 0.01 A

答え

I = 10 mA

8.磁場と電磁誘導

答え: M = 266.5 µH

相互インダクタンス

M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·1500·50·0.0007069/0.25 = 266.5 µH

答え

M = 266.5 µH

9.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 42.34 Ω

フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。

リアクタンス

X_C = 1/(ωC) = 1/(2π·200·10·10⁻⁶) = 79.58 Ω

枝電流

両方の枝は電源に直接接続されているので、どちらにも電圧 V 全体がかかります。

I_R = V/R = 120/50 = 2.4 A

I_X = V/X_C = 120/79.58 = 1.508 A

全電流

抵抗の電流は V と同相で、リアクタンスの電流は 90° 位相がずれているので、直角三角形の辺のように合成されます。

I = √(I_R² + I_X²) = √(2.4² + 1.508²) = 2.834 A

インピーダンス

|Z| = V/I = 120/2.834 = 42.34 Ω

答え

|Z| = 42.34 Ω

10.交流インピーダンスとフェーザ

答え: |Z| = 64.89 Ω

リアクタンス

X_C = 1/(2π·60·100·10⁻⁶) = 26.53 Ω

並列回路

分子と分母に共役複素数を掛けて、Z_p を実部と虚部に分けます。

Z_p = R₂·(−jX_C)/(R₂ − jX_C) = (R₂·X_C² − jR₂²·X_C)/(R₂² + X_C²)

Z_p = 13.16 − j14.89 Ω

合成インピーダンス

Z = 50 + 13.16 − j14.89 = 63.16 − j14.89 Ω

|Z| = √(63.16² + 14.89²) = 64.89 Ω

答え

|Z| = 64.89 Ω

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