クーロンの法則と電場
- クーロンの法則
- F = k·|q1q2|/r²
- 点電荷のつくる電場
- E = k·|q|/r²
- 定数
- k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²
- 電荷が受ける力
- F = q·E
物理学 II：電磁気学：直前対策パック
公式集、全トピックの解法の要点、10 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。
1公式と解法
抵抗の直列・並列
- 抵抗の直列接続
- Req = R1 + R2 + …
- 抵抗の並列接続
- 1/Req = 1/R1 + 1/R2 + …
- 2 つの並列接続
- Req = R1R2 / (R1 + R2)
- オームの法則
- V = I·R
- 電力
- P = V·I = I²R = V²/R
解き方
- 端子からいちばん遠い回路網の端から始めます。
- 直列の抵抗は足し合わせ、並列の抵抗は 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + … でまとめます。
- 1 ステップごとに回路を描き直します。
- 端子間に抵抗が 1 つだけ残るまで繰り返します。
RC・RL 過渡現象
- 時定数
- τ = RC | τ = L/R
- 応答
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ
- 直流でのコンデンサ
- 開放；vC は急変しない
- 直流でのインダクタ
- 短絡；iL は急変しない
- 定常値
- t ≈ 5τ
解き方
- 切り替え直後の初期値を求めます：コンデンサの電圧とインダクタの電流は急に変化できません。
- 切り替えから十分時間がたったあとの最終値を求めます：コンデンサは開放、インダクタは短絡として扱えます。
- 時定数を求めます：τ = RC または τ = L/R。抵抗はコンデンサまたはインダクタから見た抵抗を使います。
- x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ を使います。
磁場と電磁誘導
- 長い直線導線
- B = μ0I/(2πr)
- 平らなコイルの中心
- B = μ0NI/(2R)
- 長いソレノイド
- B = μ0nI, n = N/L
- 定数
- μ0 = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
- 導線に働く力
- F = BIL·sin θ
- 電荷が受ける力
- F = |q|vB·sin θ
- 円運動
- r = mv/(|q|B), T = 2πm/(|q|B)
- 平行導線
- F/L = μ0I1I2/(2πd)
- 磁束
- Φ = BA·cos θ
- ファラデーの法則
- ε = −N·ΔΦ/Δt
- 動く棒
- ε = BLv
- 発電機
- E0 = NBAω, Erms = E0/√2
- インダクタンス
- ε = L·ΔI/Δt, L = μ0N²A/l, W = ½LI²
- 相互インダクタンス
- ε2 = M·di1/dt, M = k√(L1L2)
- 速度選択器と質量分析計
- v = E/B, r = √(2mV/|q|)/B
解き方
- すべての量を SI 単位に換算しましょう：cm は m に、cm² は m² に、mT と µT は T に。
- 正しい公式を選びましょう：導線は B = μ₀I/(2πr)、コイルの中心は μ₀NI/(2R)、ソレノイドの内部は μ₀nI。力には F = BIL·sin θ または |q|vB·sin θ を使います。
- 電磁誘導では、磁束の変化 ΔΦ = Δ(BA·cos θ) を求めて ε = N·ΔΦ/Δt を使います。動く棒には ε = BLv、回転するコイルには NBAω を使います。
- 向きは、右手の法則と、誘導電流にはレンツの法則を使って別々に求めましょう。
交流インピーダンスとフェーザ
- インピーダンス
- ZR = R, ZL = jωL, ZC = 1/(jωC)
- 角周波数
- ω = 2πf
- 大きさと偏角
- |Z| = √(R² + X²), φ = atan(X/R)
- フェーザ表示のオームの法則
- V = I·Z
解き方
- 周波数を換算します：ω = 2πf。
- 各リアクタンスを求めます：XL = ωL、XC = 1/(ωC)。
- インピーダンスは抵抗と同じように足します。Z = R + jX です。
- 大きさ |Z| = √(R² + X²) と角度 φ = atan(X/R) を求め、フェーザでオームの法則を使います。
2演習問題
1.クーロンの法則と電場ふつう
+2 µC の電荷と +5 µC の電荷が 40 cm 離れている。点 P は 2 つの電荷を結ぶ線分上にあり、1 つ目の電荷から 24 cm の位置にある。P での電場の大きさ E を求めよ。
q1 = +2 µCq2 = +5 µCr1 = 24 cmr2 = 16 cm
E = N/C
2.クーロンの法則と電場むずかしい
電子が 4 × 10⁷ m/s で、2 枚の平行な極板の間の一様な電場に極板と平行に入射する。極板の長さは 4 cm、極板間の電場は 4600 N/C である。電子の電荷は 1.602 × 10⁻¹⁹ C、質量は 9.109 × 10⁻³¹ kg とし、重力は無視する。極板を出るとき、電子は横方向にどれだけ y 偏向しているか。答えは mm で求めよ。
v₀ = 4 × 10⁷ m/sL = 4 cmE = 4600 N/Ce = 1.602 × 10⁻¹⁹ Cme = 9.109 × 10⁻³¹ kg
y = mm
3.抵抗の直列・並列ふつう
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 12 VR1 = 2 ΩR2 = 15 ΩR3 = 6 ΩR4 = 12 Ω
IR1 = A
4.抵抗の直列・並列むずかしい
電源が供給し R1 を流れる電流 IR1 を求めよ。
V1 = 30 VR1 = 25 ΩR2 = 10 ΩR3 = 12 ΩR4 = 4 ΩR5 = 12 ΩR6 = 20 Ω
IR1 = A
5.RC・RL 過渡現象ふつう
t = 0 でスイッチが閉じる前、コイルに電流は流れていない。 t = 1 ms におけるコイルの電圧 vL を求めよ。
Vs = 20 VR = 20 ΩL = 10 mHt = 1 ms
vL = V
6.RC・RL 過渡現象むずかしい
スイッチは長い間閉じていたので、回路は定常状態にある。t = 0 にスイッチが開く。 t = 75 ms で R2 を流れる電流 i2 を求めよ。
Vs = 20 VR1 = 4.7 kΩR2 = 1 kΩC = 68 µFt = 75 ms
i2 = mA
7.磁場と電磁誘導ふつう
導線に 右向き の電流が流れ、紙面の手前向き の一様な磁場の中にあります。導線に働く磁気力の向きをクリックしてください。
I: 右向きB: 紙面の手前向き
- 1紙面の上向き
- 2右向き
- 3紙面の下向き
- 4左向き
8.磁場と電磁誘導むずかしい
50 巻きの短いコイルが、2000 巻き、長さ 40 cm、直径 4 cm の長いソレノイドの中央に、ぴったりと巻かれています。ソレノイドの電流は 200 A/s の割合で変化します。短いコイルに誘導される起電力 ε を求めてください。
N1 = 2000N2 = 50l = 40 cm⌀ = 4 cmdi/dt = 200 A/sμ₀ = 4π × 10⁻⁷ T·m/A
ε = mV
9.交流インピーダンスとフェーザふつう
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、500 Hz の電源に接続する。 電源から供給される有効電力 P を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 500 HzR = 80 ΩL = 50 mHC = 22 µF
P = W
10.交流インピーダンスとフェーザむずかしい
直列 RLC 回路を 230 V（実効値）、100 Hz の電源に接続する。 電流の実効値 I を求めよ。
V = 230 V (rms)f = 100 HzR = 20 ΩL = 20 mHC = 10 µF
I = A
3溶液
1.クーロンの法則と電場
答え: E = 1.444 × 10⁶ N/C
クーロンの法則：2 つの点電荷は F = k·|q₁·q₂|/r² の力で引き合うか反発し合います。ただし k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C²。点電荷のつくる電場は E = k·|q|/r² で、正電荷からは遠ざかる向き、負電荷へは近づく向きです。複数の電荷による力や電場はベクトルとして足し合わせます。
各電荷による電場
E1 = k·2 × 10⁻⁶/0.24² = 312153 N/C
E2 = k·5 × 10⁻⁶/0.16² = 1.756 × 10⁶ N/C
向きと合成
どちらの電荷も正なので、P ではそれぞれの電場が各電荷から遠ざかる向き、つまり互いに逆向きになります。
E = |312153 − 1.756 × 10⁶| = 1.444 × 10⁶ N/C
答え
E = 1.444 × 10⁶ N/C
2.クーロンの法則と電場
答え: y = 0.4045 mm
Coulomb’s law: two point charges attract or repel with F = k·|q₁·q₂|/r², with k = 8.99 × 10⁹ N·m²/C². The field of a point charge is E = k·|q|/r², pointing away from a positive charge and towards a negative one. Forces and fields from several charges add as vectors.
極板間にいる時間
t = L/v₀ = 0.04/4 × 10⁷ = 1 × 10⁻⁹ s
横方向の加速度
a = e·E/m = 1.602 × 10⁻¹⁹·4600/9.109 × 10⁻³¹ = 8.09 × 10¹⁴ m/s²
たわみ
y = ½·a·t² = ½·8.09 × 10¹⁴·(1 × 10⁻⁹)² = 0.0004045 m = 0.4045 mm
答え
y = 0.4045 mm
電子は電場の向きと逆に、正の極板の方へ押されます。
3.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 1.179 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R3 + R4 = 6 + 12 = 18 Ω
R2 ∥ 18 = 15·18/(15+18) = 8.182 Ω
Req = R1 + 8.182 = 2 + 8.182 = 10.18 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 12/10.18 = 1.179 A
答え
IR1 = 1.179 A
4.抵抗の直列・並列
答え: IR1 = 0.965 A
直列と並列の抵抗：直列では各抵抗に同じ電流が流れ、R = R₁ + R₂ + …。並列では各抵抗に同じ電圧がかかり、1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + …。はしご形回路は 1 組ずつまとめ、1 つの合成抵抗になるまで続けます。
遠い端から抵抗をまとめる
電源から最も遠い端から始め、電源に向かって戻ります。同じ電流が流れる抵抗は直列、同じ 2 つの節点の間にある抵抗は並列です。
R5 + R6 = 12 + 20 = 32 Ω
R4 ∥ 32 = 3.556 Ω
R3 + 3.556 = 15.56 Ω
R2 ∥ 15.56 = 6.087 Ω
Req = R1 + 6.087 = 25 + 6.087 = 31.09 Ω
電源からの電流
電源から見えるのは Req だけなので、オームの法則で電源の電流が求まります。この電流は R₁ を流れます。
IR1 = V1/Req = 30/31.09 = 0.965 A
答え
IR1 = 0.965 A
5.RC・RL 過渡現象
答え: vL = 2.707 V
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
時定数と最終電流
スイッチを閉じて十分時間がたつと、コイルは短絡と同じに振る舞うので、最終電流は R だけで決まります。
τ = L/R = 10 mH / 20 Ω = 0.5 ms
i(∞) = Vs/R = 20/20 = 1 A
コイルの電圧
t = 0 では電源電圧がすべてコイルにかかり、その後 0 まで減衰します。
vL(t) = Vs·e−t/τ = 20·e−1/0.5 = 2.707 V
答え
vL = 2.707 V
6.RC・RL 過渡現象
答え: i2 = 1.165 mA
1 次の過渡現象：コンデンサまたはコイルを 1 つ含む回路では、すべての電圧・電流が初期値から最終値へ指数関数的に変化します：x(t) = x(∞) + [x(0) − x(∞)]·e−t/τ、τ = RC または τ = L/R。約 5τ で回路は定常状態になります。
コンデンサの初期電圧
定常状態ではコンデンサは開放なので、R₁ と R₂ は分圧回路になります。スイッチが開いてもコンデンサの電圧は急変できません。
vC(0) = 20·1/(4.7 + 1) = 3.509 V
スイッチが開いた後の時定数
τ = R2·C = 1·68 = 68 ms
放電
vC(t) = 3.509·e−75/68 = 1.165 V
i2 = vC/R2 = 1.165/1 = 1.165 mA
答え
i2 = 1.165 mA
7.磁場と電磁誘導
答え: 紙面の下向き
磁気力：磁場 B の中で電流 I が流れる直線導線は F = BIL·sin θ の力を受け、動く電荷は F = |q|vB·sin θ の力を受けます。θ は電流（または速度）と B のなす角です。力は両方に垂直です：右手の指を I または v の向きにそろえ、B の方へ曲げると、親指が正電荷にとっての F の向きを示します。負電荷では逆向きです。F は v に垂直なので、一様な磁場を横切って動く電荷は円運動をします：|q|vB = mv²/r から r = mv/(|q|B)、周期 T = 2πm/(|q|B) が得られ、周期は速さによりません。平行な 2 本の導線は、電流が同じ向きなら引き合います：F/L = μ₀I₁I₂/(2πd)。
右手の法則
指を電流または速度の向きにそろえて B の方へ曲げます。親指が正電荷に働く力の向きです。
I: 右向き, B: 紙面の手前向き
力の向き
紙面の下向き
答え
F: 紙面の下向き
8.磁場と電磁誘導
答え: ε = 78.96 mV
電磁誘導：ループを貫く磁束は Φ = BA·cos θ で、θ は B とループの法線のなす角です。ファラデーの法則：磁束が変化すると、N 巻きのコイルに起電力 = −N·dΦ/dt が誘導されます。レンツの法則：誘導電流は、それ自身がつくる磁場が変化を妨げる向きに流れます。磁場を横切って動く棒には起電力 = BLv が生じます。角速度 ω で回転するコイルでは e = NBAω·sin ωt で、ピーク値は NBAω です。自己インダクタンス：起電力 = −L·di/dt で、長いソレノイドでは L = μ₀N²A/l、蓄えられるエネルギーは W = ½LI² です。結合した 2 つのコイル：起電力₂ = −M·di₁/dt、M = k√(L₁L₂)。
相互インダクタンス
M = μ₀N₁N₂A/l = 4π × 10⁻⁷·2000·50·0.001257/0.4 = 394.8 µH
誘導起電力
ε = M·di/dt = 0.0003948·200 = 78.96 mV
答え
ε = 78.96 mV
9.交流インピーダンスとフェーザ
答え: P = 158.3 W
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
XL = 157.1 Ω, XC = 14.47 Ω
インピーダンス
|Z| = √(80² + (142.6)²) = 163.5 Ω
有効電力
コイルとコンデンサはエネルギーを蓄えて返すだけです。有効電力はすべて抵抗が消費します。
I = 230/163.5 = 1.407 A
P = I²·R = 1.407²·80 = 158.3 W
答え
P = 158.3 W
10.交流インピーダンスとフェーザ
答え: I = 1.555 A
フェーザによる交流回路：抵抗、コイル、コンデンサのインピーダンスは R、jωL、1/(jωC)（ω = 2πf）です。直列では抵抗と同じように足しますが、複素数として計算します。電流と電圧の実効値は |Z| を使ったオームの法則に従います。
リアクタンス
ω = 2πf = 2π·100 = 628.3 rad/s
XL = ωL = 628.3·0.02 = 12.57 Ω
XC = 1/(ωC) = 1/(628.3·10·10⁻⁶) = 159.2 Ω
インピーダンス
直列ではインピーダンスを複素数として足します：Z = R + j(XL − XC)。
|Z| = √(R² + (XL − XC)²) = √(20² + (−146.6)²) = 147.9 Ω
電流
直列回路ではすべての素子に同じ電流が流れます。
I = V/|Z| = 230/147.9 = 1.555 A
答え
I = 1.555 A
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