基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 180 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 900 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 180 km/hs = 900 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

地面から高さ 40 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 7 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 7 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 60°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 40°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 500 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.1 kg のボールをその上に置き、ばねを 10 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.1 kgk = 500 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 1 mμ = 0.25k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、10 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 1 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 5 kgm₂ = 1 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 9 m/s で壁に当たり、17 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 9 m/sv_out = 17 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 25 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 3.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.64 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 25 mmh = 3.5 mC_d = 0.64g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 50 mm に細くなりながら 3 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 250 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 50 mmp₁ = 250 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 3 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

100 kPa、0 °C において、CO₂ 320 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 320 gM = 44.01 g/molP = 100 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

750 kPa、10 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 750 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 325 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 325 °CT_L = 30 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 950 °C の熱源から 50 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -30 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 950 °CT₀ = 20 °CT_L = -30 °CQ̇_H = 50 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

34 m/s で動く 500 Hz の音源と、20 m/s で動く観測者が、互いに近づいています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_s = 34 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、30 m/s で遠ざかる車に向けて 40 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: a = 1.389 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 180/3.6 = 50 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 50²/(2·900) = 1.389 m/s²

答え

a = 1.389 m/s²

2.運動学

答え: t = 3.532 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−40 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 40 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·40))/9.81 = 3.532 s

答え

t = 3.532 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.972 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.15·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.141) = 1.972 m/s²

答え

a = 1.972 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.047 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 20.6)/11.5 = 2.047 m/s²

答え

a = 2.047 m/s²

5.放物運動

答え: H = 25.84 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 60° = 13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 60° = 22.52 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 22.52²/(2·9.81) = 25.84 m

答え

H = 25.84 m

6.放物運動

答え: x = 46 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 40° = 11.49 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 40° = 9.642 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 9.642·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.642 + √(92.96 + 784.8))/9.81 = 4.003 s

水平距離

x = v_x·t = 11.49·4.003 = 46 m

答え

x = 46 m

7.仕事とエネルギー

答え: h = 2.548 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·500·0.1² = 2.5 J

高さ

m·g = 0.1·9.81 = 0.981 N

h = ½kx²/(mg) = 2.5/0.981 = 2.548 m

答え

h = 2.548 m

8.仕事とエネルギー

答え: x = 14.58 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.25·1) = 15.94 J

最大縮み

½kx² = 15.94 → x = √(2·15.94/1500) = 0.1458 m = 14.58 cm

答え

x = 14.58 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 6.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 1)/(5 + 1)·10 = 6.667 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1)·10 = 16.67 m/s

答え

v′₁ = 6.667 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 14.3 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(17 + 9) = 14.3 N·s

答え

J = 14.3 N·s

11.静水圧

答え: F = 147.2 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·6 = 147.2 kN

答え

F = 147.2 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.857 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·1.75·3 = 52.79 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 0.5625/(1.75·3) = 1.857 m

答え

y_cp = 1.857 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 2.603 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.64·0.0004909·8.287 = 0.002603 m³/s = 2.603 L/s

答え

Q = 2.603 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 148.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(200/50)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 12²)/1000 = −71.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·3/1000 = 29.43 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 250 + (−71.72) − 29.43 = 148.9 kPa

答え

p₂ = 148.9 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 165.1 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 320/44.01 = 7.271 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

体積

V = nRT/P = 7.271·8.314·273.1/100 = 165.1 L

答え

V = 165.1 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 10.19 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

密度

ρ = 750·32/(8.314·283.1) = 10.19 kg/m³

答え

ρ = 10.19 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 49.32 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/598.1 = 49.32 %

答え

η_max = 49.32 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 184.9 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 950 + 273.15 = 1223 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/1223 = 0.7603

Ẇ = 0.7603·50 = 38.02 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 243.1/(293.1 − 243.1) = 4.863

Q̇_L = 4.863·38.02 = 184.9 kW

答え

Q̇_L = 184.9 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 587.4 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 500·(343 + 20)/(343 − 34)

f′ = 587.4 Hz

答え

f′ = 587.4 Hz

20.波・音・光学

答え: f″ = 33566 Hz

車での振動数

f′ = 40000·(343 − 30)/343 = 36501 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 30) = 33566 Hz

答え

f″ = 33566 Hz

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