基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度
v = v0 + a·t
変位
s = v0·t + ½·a·t²
時間を含まない式
v² = v0² + 2·a·s
単位
1 m/s = 3.6 km/h

解き方

  1. わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
  2. わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
  3. 正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
  4. 解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則
ΣF = m·a
重力
W = m·g
動摩擦
Ff = μ·N
斜面上
斜面方向：m·g·sin θ、 垂直方向：m·g·cos θ

解き方

  1. 物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
  2. 運動の向きに沿って正の向きを決めます。
  3. 力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
  4. 運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分
vx = v0cos θ, vy = v0sin θ
位置
x = vxt, y = h + vyt − ½gt²
最高点の高さ
H = h + vy²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）
R = v0²·sin 2θ/g

解き方

  1. 初速度を成分に分けます：vx = v₀·cos θ、vy = v₀·sin θ。
  2. 水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
  3. 鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
  4. その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー
Ek = ½mv²
位置エネルギー
Ep = mgh
エネルギー収支
Ek1 + Ep1 + W = Ek2 + Ep2 + losses
摩擦力がする仕事
W = μ·N·d
電力
P = W/t

運動量と衝突

運動量
p = m·v
保存則
Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性
v′ = (m1v1 + m2v2)/(m1 + m2)
力積
J = F·Δt = m·Δv

解き方

  1. 正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
  2. 衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
  3. 完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
  4. 衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力
p = ρgh
鉛直な壁に働く力
F = ρg·hc·A
圧力中心
yp = yc + Ic/(ycA)
長方形
Ic = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式
A1v1 = A2v2
ベルヌーイの定理
p1 + ½ρv1² + ρgz1 = p2 + ½ρv2² + ρgz2
流量
Q = A·v
円の面積
A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式
pV = nRT
気体定数
R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則
p1V1/T1 = p2V2/T2
物質量
n = m/M
温度
T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率
η = W/QH = 1 − QC/QH
カルノー効率
ηC = 1 − TC/TH (kelvin)
冷凍機の COP
COPR = QC/W
ヒートポンプの COP
COPHP = QH/W = COPR + 1
エネルギー収支
QH = W + QC

波・音・光学

波の速さ
v = fλ, T = 1/f
弦
v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル
β = 10·log10(I/I0), I0 = 10⁻¹² W/m²
点音源
I = P/(4πr²)
定常波
弦または開管 fn = n·v/(2L); 閉管 fn = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果
f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs)
屈折率
n = c/v, λ = λ0/n
スネルの法則
n1sin θ1 = n2sin θ2
臨界角
sin θc = n2/n1
光ファイバー
NA = sin θa = √(n1² − n2²)
レンズと鏡
1/f = 1/do + 1/di, m = −di/do, mirror f = R/2
二重スリット
d·sin θ = mλ, ym = mλL/d
回折格子
d = 1/N, d·sin θ = mλ, mmax ≤ d/λ
単スリット
a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

  1. 問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
  2. まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± vo)/(v ∓ vs)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
  3. 単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
  4. 符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう
t (s)v (m/s)4.545 s25

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 制動距離 s を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −5.5 m/s²v = 0
s = m
2.運動学むずかしい
t (s)v (m/s)10 s

路面電車が静止状態から 1 m/s² で 10 s 加速し、次に 28 s 等速で走り、最後に 2.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a1 = 1 m/s²t1 = 10 st2 = 28 sa3 = −2.5 m/s²
s = m
3.ニュートンの法則ふつう
θ = 25°15 kgF = ?

質量 15 kg の箱を、水平と 25° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 15 kgθ = 25°μ = 0.4g = 9.81 m/s²
F = N
4.ニュートンの法則むずかしい
m1​ = 9 kg4 kgμ = 0.1

水平な机の上にある質量 9 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。 ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。 糸の張力 T を求めよ。

m1 = 9 kgm2 = 4 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²
T = N
5.放物運動ふつう
v0​ = 16 m/s55°到達距離

ボールを 平らな地面から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v0 = 16 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²
t = s
6.放物運動むずかしい
h = 20 mv0​ = 20 m/s35°到達距離

ボールを 高さ 20 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v0 = 20 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9.81 m/s²
t = s
7.仕事とエネルギーふつう
100 km/h

水平な道路を 100 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.4 である。停止距離 d を求めよ。

v = 100 km/hμ = 0.4g = 9.81 m/s²
d = m
8.仕事とエネルギーむずかしい
F = 65 N25°μ = 0.110 kg

質量 10 kg のブロックが 25° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 65 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.1 である。ブロックが斜面を 2 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 10 kgF = 65 Nθ = 25°μ = 0.1d = 2 mg = 9.81 m/s²
v = m/s
9.運動量と衝突ふつう
900 kg15 m/s900 kg

15 m/s で動いている質量 900 kg の自動車が、静止している質量 900 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。 元の運動エネルギーの何パーセント ΔK/K が失われるか。

m1 = 900 kgv1 = 15 m/sm2 = 900 kgv2 = 0
ΔK/K = %
10.運動量と衝突むずかしい
1000 kg14 m/s1500 kg25 m/sθ = ?

交差点で、東向きに 14 m/s で走る質量 1000 kg の自動車が、北向きに 25 m/s で走る質量 1500 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。 衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m1 = 1000 kgv1 = 14 m/s (E)m2 = 1500 kgv2 = 25 m/s (N)
θ = °
11.静水圧ふつう
ゲートd = 2 mH = 2 m

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²
F = kN
12.静水圧むずかしい
ゲートd = 1 mH = 3 m

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ ycp を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²
ycp = m
13.連続の式とベルヌーイふつう
12d1​ = 100 mm, p1​ = 250 kPad2​ = 75 mm, p2​ = ?

水が、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 250 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p2 を求めよ。

d1 = 100 mmd2 = 75 mmp1 = 250 kPav1 = 0.5 m/sρ = 1000 kg/m³
p2 = kPa
14.連続の式とベルヌーイむずかしい
C210.5 m3.5 md = 20 mmpC​ = ?

内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 3.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 点 C での絶対圧力 pC を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 20 mmzC = +0.5 mz2 = −3.5 mg = 9.81 m/s²patm = 101.3 kPa
pC = kPa
15.理想気体の状態方程式ふつう
160 g のCO₂P = 250 kPaT = 100 °CV = ?

250 kPa、100 °C において、CO₂ 160 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 160 gM = 44.01 g/molP = 250 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)
V = L
16.理想気体の状態方程式むずかしい
Ar, M = 39.95 g/molP = 650 kPaT = 90 °Cρ = ?

650 kPa、90 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 650 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)
ρ = kg/m³
17.熱機関と冷凍機ふつう
TH​ = 550 °CTL​ = 15 °CEQH​QL​η = 36%

熱機関が 550 °C の熱源から熱を受け取り、15 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 36% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）ηII を求めよ。

TH = 550 °CTL = 15 °Cη = 36%
ηII = %
18.熱機関と冷凍機むずかしい
TH​ = 28 °CTL​ = -20 °CRQ̇H​Q̇L​ = 3.5 kWẆ = ?

冷蔵庫が、28 °C のキッチンで冷蔵室を -20 °C に保ち、冷蔵室から 3.5 kW の熱を取り除く。 必要な最小入力動力 Ẇmin を求めよ。

TH = 28 °CTL = -20 °CQ̇L = 3.5 kW
Ẇmin = kW
19.波・音・光学ふつう
SO10 m/sf = 1200 Hz

観測者が、静止している 1200 Hz の音源に向かって 10 m/s で動いています。 音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1200 Hzv = 343 m/svo = 10 m/s
f′ = Hz
20.波・音・光学むずかしい
SO30 m/sf = 25 kHz

静止しているセンサーが、30 m/s で遠ざかる車に向けて 25 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 fb を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 30 m/sv = 343 m/s
fb = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 56.82 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·5.5) = 56.82 m

答え

s = 56.82 m
2.運動学

答え: s = 350 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a1·t1 = 1·10 = 10 m/s

各段階の距離

s1 = ½·1·10² = 50 m
s2 = 10·28 = 280 m
s3 = 10²/(2·2.5) = 20 m

全距離

s = 50 + 280 + 20 = 350 m

答え

s = 350 m
3.ニュートンの法則

答え: F = 115.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 62.19 + 53.35 = 115.5 N

答え

F = 115.5 N
4.ニュートンの法則

答え: T = 29.88 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m2·g − μ·m1·g)/(m1 + m2) = (39.24 − 8.829)/13 = 2.339 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m1·g = m1·a
T = 9·2.339 + 8.829 = 29.88 N

答え

T = 29.88 N
5.放物運動

答え: t = 2.672 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 16·cos 55° = 9.177 m/s
vy = v0·sin θ = 16·sin 55° = 13.11 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2vy/g。

t = 2·13.11/9.81 = 2.672 s

答え

t = 2.672 s
6.放物運動

答え: t = 3.503 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = vxt、y = h + vyt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

vx = v0·cos θ = 20·cos 35° = 16.38 m/s
vy = v0·sin θ = 20·sin 35° = 11.47 m/s

滞空時間

y(t) = h + vy·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 11.47·t − 4.905·t²
t = (vy + √(vy² + 2gh))/g = (11.47 + √(131.6 + 392.4))/9.81 = 3.503 s

答え

t = 3.503 s
7.仕事とエネルギー

答え: d = 98.32 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 100/3.6 = 27.78 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 27.78²/(2·0.4·9.81) = 98.32 m

答え

d = 98.32 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 2.421 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿った力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N
mg·sin θ = 41.46 N
μ·mg·cos θ = 8.891 N

仕事とエネルギー

½mv² = (65 − 50.35)·2 = 29.3 J
v = √(2·29.3/10) = 2.421 m/s

答え

v = 2.421 m/s
9.運動量と衝突

答え: ΔK/K = 50 %

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m1·v1/(m1 + m2) = 900·15/1800 = 7.5 m/s

衝突前後の運動エネルギー

Kbefore = ½·900·15² = 101250 J
Kafter = ½·1800·7.5² = 50625 J

失われた割合

ΔK/K = 50625/101250 = 50 %

答え

ΔK/K = 50 %

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: θ = 69.53 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

px = 1000·14 = 14000 kg·m/s
py = 1500·25 = 37500 kg·m/s

向き

tan θ = py/px = 2.679 → θ = 69.53°

答え

θ = 69.53°
11.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m
A = H·b = 2·1 = 2 m²
ゲートd = 2 mH = 2 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN
12.静水圧

答え: ycp = 2.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·yc·A。力は圧力中心 ycp = yc + Ic/(ycA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

yc = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m
A = H·b = 3·2 = 6 m²
ゲートd = 1 mH = 3 mF

合力

F = ρ·g·yc·A = 1025·9.81·2.5·6 = 150.8 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

Ic = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴
ycp = yc + Ic/(yc·A) = 2.5 + 4.5/(2.5·6) = 2.8 m

答え

ycp = 2.8 m
13.連続の式とベルヌーイ

答え: p2 = 249.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v2 = v1·(d1/d2)² = 0.5·(100/75)² = 0.8889 m/s
½ρ(v1² − v2²) = ½·1000·(0.5² − 0.8889²)/1000 = −0.2701 kPa
p2 = p1 + ½ρ(v1² − v2²) = 250 + (−0.2701) = 249.7 kPa

答え

p2 = 249.7 kPa
14.連続の式とベルヌーイ

答え: pC = 62.06 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

patm = pC + ½ρv² + ρgzC
pC = 101.3 − 1000·(8.287²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 39.24 = 62.06 kPa

答え

pC = 62.06 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 45.12 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 160/44.01 = 3.636 mol
T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体積

V = nRT/P = 3.636·8.314·373.1/250 = 45.12 L

答え

V = 45.12 L
16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 8.601 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)
T = 90 + 273.15 = 363.1 K

密度

ρ = 650·39.95/(8.314·363.1) = 8.601 kg/m³

答え

ρ = 8.601 kg/m³
17.熱機関と冷凍機

答え: ηII = 55.39 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures TH and TL can beat the reversible (Carnot) cycle: ηmax = 1 − TL/TH, COPR,max = TL/(TH − TL) and COPHP,max = TH/(TH − TL). Energy is always conserved: QH = W + QL.

絶対温度

TH = 550 + 273.15 = 823.1 K
TL = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

ηCarnot = 1 − 288.1/823.1 = 64.99 %

第二法則効率

ηII = η/ηCarnot = 36/64.99 = 55.39 %

答え

ηII = 55.39 %
18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇmin = 0.6636 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 TH と TL の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：ηmax = 1 − TL/TH、COPR,max = TL/(TH − TL)、COPHP,max = TH/(TH − TL)。エネルギーは常に保存されます：QH = W + QL。

絶対温度

TH = 28 + 273.15 = 301.1 K
TL = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能な最良の COP

COPR,max = TL/(TH − TL) = 253.1/(301.1 − 253.1) = 5.274

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇmin = Q̇L/COP = 3.5/5.274 = 0.6636 kW

答え

Ẇmin = 0.6636 kW
19.波・音・光学

答え: f′ = 1235 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + vo)/(v − vs) = 1200·(343 + 10)/(343 − 0)
f′ = 1235 Hz

答え

f′ = 1235 Hz
20.波・音・光学

答え: fb = 4021 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、fn = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、fn = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± vo)/(v ∓ vs) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 25000·(343 − 30)/343 = 22813 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 30) = 20979 Hz

うなりの振動数

fb = |f″ − f| = 4021 Hz

答え

fb = 4021 Hz

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