基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 14 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 14 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

箱が水平な床の上を初速 5.5 m/s ですべり、3.9 m 進んで止まる。g = 9.81 m/s² とする。動摩擦係数 μ を求めよ。

v₀ = 5.5 m/sd = 3.9 mg = 9.81 m/s²

μ =

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 1 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 40° 上向きに打ち出すと、60 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 40°R = 60 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 30 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 33 m/sθ = 55°h = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 1.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 30° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 1.5 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 2 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 4 mL = 2 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 17 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 1 kgh = 17 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 12 m/s で壁に当たり、13 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 12 m/sv_out = 13 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 340 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 50 mmp₁ = 340 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 330 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 330 kPav₁ = 2 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 65 °C のN₂が 140 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 140 gM = 28.01 g/molV = 5 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

250 kPa、90 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 250 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 550 °C の熱源から 2400 kJ の熱を受け取り、913 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 550 °CQ_H = 2400 kJQ_L = 913 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 2 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 11 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 11 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

光がクラウンガラス（n = 1.50）の中を、アクリル（n = 1.49）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.50n₂ = 1.49

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.55、クラッドは n₂ = 1.53 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.55n₂ = 1.53n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 5.128 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/6.5 = 5.128 s

答え

t = 5.128 s

2.運動学

答え: t = 3.175 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·5))/9.81 = 3.175 s

答え

t = 3.175 s

3.ニュートンの法則

答え: μ = 0.3953

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

減速度

a = v₀²/(2d) = 5.5²/(2·3.9) = 3.878 m/s²

摩擦係数

μ·m·g = m·a → μ = a/g = 3.878/9.81 = 0.3953

答え

μ = 0.3953

4.ニュートンの法則

答え: a = 8.175 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/6 = 8.175 m/s²

答え

a = 8.175 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 24.45 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·60/sin 80°) = 24.45 m/s

答え

v₀ = 24.45 m/s

6.放物運動

答え: t = 6.458 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 55° = 18.93 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 55° = 27.03 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 30 + 27.03·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (27.03 + √(730.7 + 588.6))/9.81 = 6.458 s

答え

t = 6.458 s

7.仕事とエネルギー

答え: T = 12.44 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·1.5·(1 − cos 30°) = 3.943 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·3.943/1.5 = 12.44 N

答え

T = 12.44 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 12.44 N。

8.仕事とエネルギー

答え: x = 8.635 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(4 − 0.1·2) = 18.64 J

最大縮み

½kx² = 18.64 → x = √(2·18.64/5000) = 0.08635 m = 8.635 cm

答え

x = 8.635 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 184.5 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.17) = 1.826 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 1)·1.826/0.01 = 184.5 m/s

答え

v = 184.5 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 250 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(13 + 12) = 2.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 2.5/0.01 = 250 N

答え

F_avg = 250 N

11.静水圧

答え: F = 51.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·3 = 51.5 kN

答え

F = 51.5 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.818 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.75·3 = 82.96 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·1.5³/12 = 0.5625 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.5625/(2.75·3) = 2.818 m

答え

y_cp = 2.818 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 277.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(150/50)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 340 + (−62.5) = 277.5 kPa

答え

p₂ = 277.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 219 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/40)² = 7.031 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 7.031²)/1000 = −22.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 330 + (−22.72) − 88.29 = 219 kPa

答え

p₂ = 219 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2810 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 140/28.01 = 4.998 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

圧力

P = nRT/V = 4.998·8.314·338.1/0.005 = 2810 kPa

答え

P = 2810 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.328 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

密度

ρ = 250·16.04/(8.314·363.1) = 1.328 kg/m³

答え

ρ = 1.328 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 39.99 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 823.1·913/2400 = 313.1 K = 39.99 °C

答え

T_L = 39.99 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 16.29

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 275.1) = 16.29

答え

COP_max = 16.29

19.波・音・光学

答え: θ_c = 83.38 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.49/1.50 = 0.9933

臨界角

θc = arcsin(0.9933) = 83.38°

答え

θ_c = 83.38°

20.波・音・光学

答え: θ_a = 14.37 °

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.53/1.55 = 0.9871 → θc = 80.79°

開口数

NA = √(1.55² − 1.53²) = 0.2482

受光角

θ_a = arcsin(0.2482) = 14.37°

答え

θ_a = 14.37°

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