基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている車が、一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 72 km/ha = −6.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 35 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 25 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 35 mv_0B = 25 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 40° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 5.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 17 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.25d = 17 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.1）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 1 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 1.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 1 kgμ = 0.1d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 0.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 0.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、16 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 11 m/sv_out = 16 m/sΔt = 25 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 5 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 5 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 90 kPa の圧縮空気がある。水面より 2.5 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 90 kPa (ゲージ圧)h = 2.5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 30 °C のHeが 80 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 80 gM = 4.003 g/molV = 30 LT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 250 kPa、2 L、15 °C から 450 kPa、70 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 2 LT₁ = 15 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 250 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4900 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 250 °CT_L = 30 °CQ_H = 4900 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 700 °C の熱源から 50 kW の熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -15 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 30 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 700 °CT₀ = 30 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 50 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.8 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 0.8 m

f₅ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 10 cm の凹面鏡の 8 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 8 cmR = 10 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 30.77 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 20²/(2·6.5) = 30.77 m

答え

s = 30.77 m

2.運動学

答え: t = 1.4 s

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

35 − ½g·t² = 25·t − ½g·t² → t = 35/25 = 1.4 s

答え

t = 1.4 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.306 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答え

a = 6.306 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.663 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (53.96 − 16.68)/14 = 2.663 m/s²

答え

a = 2.663 m/s²

5.放物運動

答え: H = 10.52 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 25° = 30.81 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 25° = 14.37 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 14.37²/(2·9.81) = 10.52 m

答え

H = 10.52 m

6.放物運動

答え: t = 5.235 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 40° = 26.05 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 40° = 21.85 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 21.85·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21.85 + √(477.6 + 392.4))/9.81 = 5.235 s

答え

t = 5.235 s

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 188.9 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.25·44.45 = 11.11 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 11.11·17 = 188.9 J

答え

W_f = 188.9 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 2.801 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 9.81·1.5 = 14.71 J

μ·m₁g·d = 0.1·19.62·1.5 = 2.943 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 11.77 → v = √(2·11.77/3) = 2.801 m/s

答え

v = 2.801 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −6.429 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (0.5 − 3)/(0.5 + 3)·9 = −6.429 m/s

v′₂ = 2·0.5/(0.5 + 3)·9 = 2.571 m/s

答え

v′₁ = −6.429 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 540 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(16 + 11) = 13.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 13.5/0.025 = 540 N

答え

F_avg = 540 N

11.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.667 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·6 = 233.1 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·3³/12 = 4.5 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.5 + 4.5/(4.5·6) = 4.667 m

答え

y_cp = 4.667 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 3.162 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·5000/1000) = 3.162 m/s

答え

v = 3.162 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 19.02 L/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(90000/1000 + 9.81·2.5)) = 15.13 m/s

流量

Q = A·v = 0.001257·15.13 = 0.01902 m³/s = 19.02 L/s

答え

Q = 19.02 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1679 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 80/4.003 = 19.99 mol

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

圧力

P = nRT/V = 19.99·8.314·303.1/0.03 = 1679 kPa

答え

P = 1679 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 1.323 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 343.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(250/450)·(343.1/288.1) = 1.323 L

答え

V₂ = 1.323 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2061 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 250 + 273.15 = 523.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/523.1 = 42.05 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.4205·4900 = 2061 kJ

答え

W_max = 2061 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 197.5 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -15 + 273.15 = 258.1 K

機関の仕事

η = 1 − 303.1/973.1 = 0.6885

Ẇ = 0.6885·50 = 34.42 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 258.1/(303.1 − 258.1) = 5.737

Q̇_L = 5.737·34.42 = 197.5 kW

答え

Q̇_L = 197.5 kW

19.波・音・光学

答え: f₅ = 1072 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.8/5 = 0.32 m

振動数

f = v/λ = 343/0.32 = 1072 Hz

答え

f₅ = 1072 Hz

20.波・音・光学

答え: d_i = 13.33 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 5 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/8

d_i = 13.33 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 13.33 cm

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