基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.5 s で、その後、自動車は一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 100 km/ht_r = 1.5 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 20 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 20 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 40 kg の箱を、水平と 15° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 40 kgθ = 15°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、35° の斜面を速さ 12 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 12 m/sθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 45°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

高さ 50 m のがけの上から、ボールを 18 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 18 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 800 kg の自動車が 4° の坂を一定の 54 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 650 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 800 kgθ = 4°F_r = 650 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.15）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 3 mL = 3.5 mμ = 0.15k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 8 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 5 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 4.5 kgh = 5 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 1.3 m の軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 30° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 2 kgL = 1.3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、200 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 360 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 10 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 300 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 300 kPav₁ = 1 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 55 °C のCO₂が 280 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 280 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

1000 kPa、120 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 1000 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 325 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1000 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 325 °CT_L = 15 °CQ_H = 1000 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 7 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 12 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 7 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 300 Hz の音源から遠ざかるように 10 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 300 Hzv = 343 m/sv_o = 10 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 200 本の線があります。波長 486 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 200 mm⁻¹λ = 486 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: d = 127.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 27.78·1.5 = 41.67 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·4.5) = 85.73 m

合計

d = 41.67 + 85.73 = 127.4 m

答え

d = 127.4 m

2.運動学

答え: h_max = 30.39 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 20²/(2·9.81) = 20.39 m

地面からの高さ

h_max = 10 + 20.39 = 30.39 m

答え

h_max = 30.39 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 196.3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 101.6 + 94.76 = 196.3 N

答え

F = 196.3 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 9.953 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 35° + 0.2·cos 35°) = 7.234 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 12²/(2·7.234) = 9.953 m

答え

d = 9.953 m

5.放物運動

答え: H = 8.257 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 18·cos 45° = 12.73 m/s

v_y = v₀·sin θ = 18·sin 45° = 12.73 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 12.73²/(2·9.81) = 8.257 m

答え

H = 8.257 m

6.放物運動

答え: H = 54.13 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 18·sin 30° = 9 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 9²/(2·9.81) = 4.128 m

地面からの高さ

H = 50 + 4.128 = 54.13 m

答え

H = 54.13 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 17.96 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 4° = 547.4 N

F = 547.4 + 650 = 1197 N

電力

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1197·15 = 17962 W = 17.96 kW

答え

P = 17.96 kW

8.仕事とエネルギー

答え: x = 24.64 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(3 − 0.15·3.5) = 60.7 J

最大縮み

½kx² = 60.7 → x = √(2·60.7/2000) = 0.2464 m = 24.64 cm

答え

x = 24.64 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 558.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.05) = 0.9905 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 4.5)·0.9905/0.008 = 558.1 m/s

答え

v = 558.1 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 186.7 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 30°) = 0.1742 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1742) = 1.849 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.02·1.849/0.02 = 186.7 m/s

答え

v = 186.7 m/s

11.静水圧

答え: F = 128.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 2.5/2 = 5.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.25·2.5 = 128.8 kN

答え

F = 128.8 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.083 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·6 = 241.3 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4 + 2/(4·6) = 4.083 m

答え

y_cp = 4.083 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 321.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(200/75)² = 8.889 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 8.889²)/1000 = −38.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 360 + (−38.72) = 321.3 kPa

答え

p₂ = 321.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 194.4 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 300 + (−7.5) − 98.1 = 194.4 kPa

答え

p₂ = 194.4 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 867.9 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 280/44.01 = 6.362 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

圧力

P = nRT/V = 6.362·8.314·328.1/0.02 = 867.9 kPa

答え

P = 867.9 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.79 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 1000·32/(8.314·393.1) = 9.79 kg/m³

答え

ρ = 9.79 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 518.3 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 325 + 273.15 = 598.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/598.1 = 51.83 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5183·1000 = 518.3 kJ

答え

W_max = 518.3 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 19.68

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68

答え

COP_max = 19.68

19.波・音・光学

答え: f′ = 291.3 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 300·(343 − 10)/(343 + 0)

f′ = 291.3 Hz

答え

f′ = 291.3 Hz

20.波・音・光学

答え: m_max = 10

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/200 mm = 5 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 5 µm/0.486 µm = 10.29 → m_max = 10

答え

m_max = 10

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