基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 80 km/ht_r = 0.9 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.8 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg と 1.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 1.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、20° の斜面を速さ 9.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 9.5 m/sθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 34 m/s、水平から 60° 上向きに、41 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 34 m/sθ = 60°x = 41 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 19 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 40°μ = 0.15d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg の台車が、半径 1 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 4.5 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 1 kgh = 4.5 mR = 1 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

11 m/s で動いている質量 1200 kg の自動車が、静止している質量 1400 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1200 kgv₁ = 11 m/sm₂ = 1400 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 15 g の弾丸を、長さ 1.9 m の軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 40° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 1 kgL = 1.9 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 250 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 250 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 100 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 380 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 380 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

150 kPa、100 °C において、Ar 460 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 460 gM = 39.95 g/molP = 150 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のArが 400 kPa、5 L、20 °C から 800 kPa、110 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 400 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 800 kPaT₂ = 110 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 300 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 300 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を -18 °C に保ち、冷蔵室から 0.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 0.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 5 m の距離でのレベルは 60 dB です。吸収と反射を無視して、25 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 60 dBr₁ = 5 mr₂ = 25 m

β₂ = dB

20.波・音・光学むずかしい

波長 486 nm の光が、1 ミリメートルあたり 200 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 1 の極大の角度 θ₁ を求めてください。

N = 200 mm⁻¹λ = 486 nmm = 1

θ₁ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 74.87 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 22.22·0.9 = 20 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·4.5) = 54.87 m

合計

d = 20 + 54.87 = 74.87 m

答え

d = 74.87 m

2.運動学

答え: d = 64.04 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1303 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1303))/(2·4.905) = 3.613 s

深さ

d = ½·9.81·3.613² = 64.04 m

答え

d = 64.04 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 16.82 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (2 − 1.5)·9.81/(2 + 1.5) = 1.401 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 1.5·(9.81 + 1.401) = 16.82 N

答え

T = 16.82 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 7.973 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 20° + 0.25·cos 20°) = 5.66 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 9.5²/(2·5.66) = 7.973 m

答え

d = 7.973 m

5.放物運動

答え: y = 42.48 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 34·cos 60° = 17 m/s

t = x/v_x = 41/17 = 2.412 s

その時刻での高さ

y = 29.44·2.412 − ½·9.81·2.412² = 42.48 m

答え

y = 42.48 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: x = 79.09 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 55° = 14.91 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 55° = 21.3 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 21.3·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21.3 + √(453.6 + 490.5))/9.81 = 5.303 s

水平距離

x = v_x·t = 14.91·5.303 = 79.09 m

答え

x = 79.09 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 21.42 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.766 = 7.515 N

F = μN = 0.15·7.515 = 1.127 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.127·19 = 21.42 J

答え

W_f = 21.42 J

8.仕事とエネルギー

答え: N = 39.24 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(4.5 − 2) = 49.05 m²/s²

最高点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

N = mv²/R − mg = 1·49.05/1 − 9.81 = 39.24 N

答え

N = 39.24 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 39092 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1200·11/2600 = 5.077 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1200·11² = 72600 J

K_after = ½·2600·5.077² = 33508 J

失われたエネルギー

ΔK = 72600 − 33508 = 39092 J

答え

ΔK = 39092 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: v = 199.8 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 40°) = 0.4445 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.4445) = 2.953 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.015·2.953/0.015 = 199.8 m/s

答え

v = 199.8 m/s

11.静水圧

答え: F = 154.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·4.5 = 154.5 kN

答え

F = 154.5 kN

12.静水圧

答え: F = 44.15 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答え

F = 44.15 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 198.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10.55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10.55²)/1000 = −51.12 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−51.12) = 198.9 kPa

答え

p₂ = 198.9 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 329.8 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(150/100)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−1.143) − 49.05 = 329.8 kPa

答え

p₂ = 329.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 238.1 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 460/39.95 = 11.51 mol

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

体積

V = nRT/P = 11.51·8.314·373.1/150 = 238.1 L

答え

V = 238.1 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 3.268 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 383.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(400/800)·(383.1/293.1) = 3.268 L

答え

V₂ = 3.268 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 49.73 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/573.1 = 49.73 %

答え

η_max = 49.73 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.09798 kW

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(305.1 − 255.1) = 5.103

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0.5/5.103 = 0.09798 kW

答え

Ẇ_min = 0.09798 kW

19.波・音・光学

答え: β₂ = 46.02 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (5/25)² = 0.04

新しいレベル

β₂ = 60 + 10·log₁₀(0.04) = 46.02 dB

答え

β₂ = 46.02 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

20.波・音・光学

答え: θ₁ = 5.578 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 1·486 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.0972

θ = 5.578°

答え

θ₁ = 5.578°

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