基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 19 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 19 m/sa_police = 4 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 20 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 24 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 20 mv_0B = 24 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 13 kg のブロックが、水平と 45° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 13 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 6.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 6.5 m/sθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 40 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 35°h = 5 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 30° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。斜面に沿って 6 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 30°μ = 0.25d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

35° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 2 kg のブロックに押し当てて 10 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 2 kgk = 3000 N/mx = 10 cmθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

質量 10 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 24 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 10 gM = 5 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 29 m/s で壁に当たり、12 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 29 m/sv_out = 12 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 35 L/s で、200 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 260 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 35 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 260 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 80 kPa の圧縮空気がある。水面より 5 m 下にある直径 40 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 80 kPa (ゲージ圧)h = 5 md = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

650 kPa、10 °C において、Ar 480 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 480 gM = 39.95 g/molP = 650 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

250 kPa、190 °C におけるCH₄の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 16.04 g/molP = 250 kPaT = 190 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 1.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -25 °C に保ち、40 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -25 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 1.5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 1100 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、30 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の仕事は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 1100 °CT_L = 30 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 440 Hz の音源に向かって 5 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 440 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.48、クラッドは n₂ = 1.4 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.48n₂ = 1.4n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 180.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·19/4 = 9.5 s

距離

d = v·t = 19·9.5 = 180.5 m

答え

d = 180.5 m

その瞬間、パトカーは 2v = 38 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 0.8333 s

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

20 − ½g·t² = 24·t − ½g·t² → t = 20/24 = 0.8333 s

答え

t = 0.8333 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.937 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答え

a = 6.937 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 3.005 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.25·cos 30°) = 7.029 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 6.5²/(2·7.029) = 3.005 m

答え

d = 3.005 m

5.放物運動

答え: t = 5.242 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 40·cos 40° = 30.64 m/s

v_y = v₀·sin θ = 40·sin 40° = 25.71 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·25.71/9.81 = 5.242 s

答え

t = 5.242 s

6.放物運動

答え: x = 76.36 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 35° = 22.12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 35° = 15.49 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 15.49·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.49 + √(239.8 + 98.1))/9.81 = 3.453 s

水平距離

x = v_x·t = 22.12·3.453 = 76.36 m

答え

x = 76.36 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 5.777 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·6·(0.5 − 0.25·0.866)) = 5.777 m/s

答え

v = 5.777 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: d = 1.166 m

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·3000·0.1² = 15 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 15/(19.62·(0.5736 + 0.1·0.8192)) = 1.166 m

答え

d = 1.166 m

9.運動量と衝突

答え: v = 1087 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.01 + 5)·2.17/0.01 = 1087 m/s

答え

v = 1087 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 1025 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(12 + 29) = 10.25 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 10.25/0.01 = 1025 N

答え

F_avg = 1025 N

11.静水圧

答え: F = 95.65 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3 = 95.65 kN

答え

F = 95.65 kN

12.静水圧

答え: F = 51.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·2·3 = 51.8 kN

答え

F = 51.8 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 269.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.035/0.03142 = 1.114 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.035/0.007854 = 4.456 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 260 + ½·1000·(4.456² − 1.114²)/1000 = 260 + 9.309 = 269.3 kPa

答え

p₁ = 269.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 16.07 m/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(80000/1000 + 9.81·5)) = 16.07 m/s

答え

v = 16.07 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 43.51 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 480/39.95 = 12.02 mol

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

体積

V = nRT/P = 12.02·8.314·283.1/650 = 43.51 L

答え

V = 43.51 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.041 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 190 + 273.15 = 463.1 K

密度

ρ = 250·16.04/(8.314·463.1) = 1.041 kg/m³

答え

ρ = 1.041 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 1.893 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 1.5·313.1/248.1 = 1.893 kW

答え

Q̇_H = 1.893 kW

入力動力：Ẇ = 0.3929 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 565 °C

絶対温度

T_H = 1100 + 273.15 = 1373 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

仕事が等しい

W = Q·(1 − T_low/T_high) で、Q/T はどの熱源でも同じなので、W は温度降下に比例します。

T_m = (1373 + 303.1)/2 = 838.2 K = 565 °C

答え

T_m = 565 °C

19.波・音・光学

答え: f′ = 446.4 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 440·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 446.4 Hz

答え

f′ = 446.4 Hz

20.波・音・光学

答え: θ_a = 28.69 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.4/1.48 = 0.9459 → θc = 71.08°

開口数

NA = √(1.48² − 1.4²) = 0.48

受光角

θ_a = arcsin(0.48) = 28.69°

答え

θ_a = 28.69°

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