基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 28 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 28 m/sa_police = 5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 9 s 加速し、次に 18 s 等速で走り、最後に 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 18 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9.5 kg と 4.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

T = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 45° 上向きに打ち出すと、20 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 45°R = 20 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

高さ 35 m のがけの上から、ボールを 19 m/s、水平から 60° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 19 m/sθ = 60°h = 35 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 6 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 0.5 kgθ = 25°μ = 0.3d = 6 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

40° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 5 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 5 cmθ = 40°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

水平に 18 m/s で動いている質量 18 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 9 kg の破片は前向きに 55 m/s で進み続ける。質量 9 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 18 kgu = 18 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 55 m/sm₂ = 9 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 1500 kg の自動車が、駐車中の質量 1300 kg の自動車に衝突する。2 台は一体となって 11.5 m すべって止まる。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.75 である。g = 9.81 m/s² とする。衝突直前の 1 台目の自動車の速さ v₁ を求めよ。

m₁ = 1500 kgm₂ = 1300 kgd = 11.5 mμ = 0.75g = 9.81 m/s²

v₁ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 100 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 100 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 30 kPa である。ノズル出口の直径は 40 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 75 mmp₁ = 30 kPa (ゲージ圧)d₂ = 40 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 40 °C のCO₂が 490 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 490 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

650 kPa、0 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 375 °C の高温熱源と 10 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4500 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 375 °CT_L = 10 °CQ_H = 4500 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 1000 °C の熱源から 160 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は 0 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 1000 °CT₀ = 20 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 160 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 3 倍音が 1029 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 3f₃ = 1029 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、幅 0.15 mm の単スリットを通ります。2 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 600 nma = 0.15 mmL = 2 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 11.2 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/5 = 11.2 s

答え

t = 11.2 s

その瞬間、パトカーは 2v = 56 m/s で走っています。

2.運動学

答え: s = 569.5 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·9 = 22.5 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·9² = 101.3 m

s₂ = 22.5·18 = 405 m

s₃ = 22.5²/(2·4) = 63.28 m

全距離

s = 101.3 + 405 + 63.28 = 569.5 m

答え

s = 569.5 m

3.ニュートンの法則

答え: T = 59.91 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (9.5 − 4.5)·9.81/(9.5 + 4.5) = 3.504 m/s²

軽いおもりから求める張力

T − m₂·g = m₂·a → T = 4.5·(9.81 + 3.504) = 59.91 N

答え

T = 59.91 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 30.18 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/13 = 3.773 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 8·3.773 + 0 = 30.18 N

答え

T = 30.18 N

5.放物運動

答え: v₀ = 14.01 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·20/sin 90°) = 14.01 m/s

答え

v₀ = 14.01 m/s

6.放物運動

答え: H = 48.8 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

鉛直方向の初速

v_y = 19·sin 60° = 16.45 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 16.45²/(2·9.81) = 13.8 m

地面からの高さ

H = 35 + 13.8 = 48.8 m

答え

H = 48.8 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 8.002 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 4.905·0.9063 = 4.445 N

F = μN = 0.3·4.445 = 1.334 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 1.334·6 = 8.002 J

答え

W_f = 8.002 J

8.仕事とエネルギー

答え: d = 0.5045 m

ばねのエネルギー

x = 5 cm = 0.05 m

½kx² = ½·3000·0.05² = 3.75 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 3.75/(9.81·(0.6428 + 0.15·0.766)) = 0.5045 m

答え

d = 0.5045 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = −19 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突前の運動量

p = M·u = 18·18 = 324 kg·m/s

衝突後の運動量

324 = 9·55 + 9·v′₂

v′₂ = (324 − 495)/9 = −19 m/s

答え

v′₂ = −19 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

10.運動量と衝突

答え: v₁ = 24.28 m/s

衝突後の速さ

V = √(2·μ·g·d) = √(2·0.75·9.81·11.5) = 13.01 m/s

衝突での運動量

m₁·v₁ = (m₁ + m₂)·V → v₁ = 2800·13.01/1500 = 24.28 m/s

答え

v₁ = 24.28 m/s

(87.42 km/h)

11.静水圧

答え: F = 117.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·6 = 117.7 kN

答え

F = 117.7 kN

12.静水圧

答え: F = 58.27 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·4.5·1.5 = 58.27 kN

答え

F = 58.27 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 60 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 100 + (−40) = 60 kPa

答え

p₂ = 60 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 3.327 m

出口流速

β = 40/75 = 0.5333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·30000/(1000·0.9191)) = 8.08 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 8.08²/(2·9.81) = 3.327 m

答え

H = 3.327 m

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 5797 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 490/44.01 = 11.13 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

圧力

P = nRT/V = 11.13·8.314·313.1/0.005 = 5797 kPa

答え

P = 5797 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 12.6 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

密度

ρ = 650·44.01/(8.314·273.1) = 12.6 kg/m³

答え

ρ = 12.6 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2534 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 283.1/648.1 = 56.31 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5631·4500 = 2534 kJ

答え

W_max = 2534 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 1682 kW

絶対温度

T_H = 1000 + 273.15 = 1273 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/1273 = 0.7697

Ẇ = 0.7697·160 = 123.2 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 273.1/(293.1 − 273.1) = 13.66

Q̇_L = 13.66·123.2 = 1682 kW

答え

Q̇_L = 1682 kW

19.波・音・光学

答え: L = 0.5 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/1029 = 0.3333 m

長さ

L = nλ/2 = 3·0.3333/2 = 0.5 m

答え

L = 0.5 m

20.波・音・光学

答え: w = 16 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·2/(0.15 × 10⁻³) = 8 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 16 mm

答え

w = 16 mm

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