基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1.3 s で、その後、自動車は一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 72 km/ht_r = 1.3 sa = −4.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 14 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 14 kgθ = 40°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、30° の斜面を速さ 8.5 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 8.5 m/sθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 26 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 35 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 23 m/sθ = 45°h = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 400 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.25 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.25 kgk = 400 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.2）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 5 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 1.5 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 5 kgμ = 0.2d = 1.5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

21 m/s で動いている質量 600 kg の自動車が、静止している質量 1100 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 600 kgv₁ = 21 m/sm₂ = 1100 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.35 kg のボールが 13 m/s で壁に当たり、13 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.35 kgv_in = 13 m/sv_out = 13 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 40 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 3 m 上に保たれ、流量係数は 0.65 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 40 mmh = 3 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 25 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 160 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 160 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 40 °C のCH₄が 100 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 100 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 150 kPa、5 L、25 °C から 350 kPa、180 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 150 kPaV₁ = 5 LT₁ = 25 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 180 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 575 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 575 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を -25 °C に保ち、冷蔵室から 4.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 4.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

光がグリセリン（n = 1.47）の中を、エタノール（n = 1.36）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.47n₂ = 1.36

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

波長 633 nm の光が、1 ミリメートルあたり 200 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 2 の極大の角度 θ₂ を求めてください。

N = 200 mm⁻¹λ = 633 nmm = 2

θ₂ = °

3溶液

1.運動学

答え: d = 70.44 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 20·1.3 = 26 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·4.5) = 44.44 m

合計

d = 26 + 44.44 = 70.44 m

答え

d = 70.44 m

2.運動学

答え: h_max = 21.83 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 6²/(2·9.81) = 1.835 m

地面からの高さ

h_max = 20 + 1.835 = 21.83 m

答え

h_max = 21.83 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.803 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.2·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1532) = 4.803 m/s²

答え

a = 4.803 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: d = 5.846 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 30° + 0.15·cos 30°) = 6.179 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 8.5²/(2·6.179) = 5.846 m

答え

d = 5.846 m

5.放物運動

答え: t = 4.804 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 26·cos 65° = 10.99 m/s

v_y = v₀·sin θ = 26·sin 65° = 23.56 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·23.56/9.81 = 4.804 s

答え

t = 4.804 s

6.放物運動

答え: t = 4.802 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 23·cos 45° = 16.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 23·sin 45° = 16.26 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 35 + 16.26·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (16.26 + √(264.5 + 686.7))/9.81 = 4.802 s

答え

t = 4.802 s

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.5219 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·400·0.08² = 1.28 J

高さ

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 1.28/2.453 = 0.5219 m

答え

h = 0.5219 m

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.431 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 49.05·1.5 = 73.58 J

μ·m₁g·d = 0.2·49.05·1.5 = 14.72 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 58.86 → v = √(2·58.86/10) = 3.431 m/s

答え

v = 3.431 m/s

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 85606 J

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·21/1700 = 7.412 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·600·21² = 132300 J

K_after = ½·1700·7.412² = 46694 J

失われたエネルギー

ΔK = 132300 − 46694 = 85606 J

答え

ΔK = 85606 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: J = 9.1 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.35·(13 + 13) = 9.1 N·s

答え

J = 9.1 N·s

11.静水圧

答え: F = 68.67 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·2 = 68.67 kN

答え

F = 68.67 kN

12.静水圧

答え: F = 160.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.25·3.75 = 160.3 kN

答え

F = 160.3 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 6.267 L/s

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·3) = 7.672 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.001257·7.672 = 0.006267 m³/s = 6.267 L/s

答え

Q = 6.267 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 87.69 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(75/25)² = 11.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 11.25²)/1000 = −62.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−62.5) − 9.81 = 87.69 kPa

答え

p₂ = 87.69 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1623 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 100/16.04 = 6.234 mol

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

圧力

P = nRT/V = 6.234·8.314·313.1/0.01 = 1623 kPa

答え

P = 1623 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 3.257 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 453.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(150/350)·(453.1/298.1) = 3.257 L

答え

V₂ = 3.257 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 64.85 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 575 + 273.15 = 848.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/848.1 = 64.85 %

答え

η_max = 64.85 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 1.034 kW

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(305.1 − 248.1) = 4.354

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 4.5/4.354 = 1.034 kW

答え

Ẇ_min = 1.034 kW

19.波・音・光学

答え: θ_c = 67.69 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.47 = 0.9252

臨界角

θc = arcsin(0.9252) = 67.69°

答え

θ_c = 67.69°

20.波・音・光学

答え: θ₂ = 14.67 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/200 mm = 5 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 2·633 × 10⁻⁹/(5 × 10⁻⁶) = 0.2532

θ = 14.67°

答え

θ₂ = 14.67°

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