基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

36 km/h で走っている車が、一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 36 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 9 s 加速し、次に 29 s 等速で走り、最後に 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 9 st₂ = 29 sa₃ = −3.5 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 30 kg のそりを、水平から 35° 上向きのロープで、80 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 30 kgF = 80 Nθ = 35°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s、水平から 25° 上向きに、15 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 22 m/sθ = 25°x = 15 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 10 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 25 m/sθ = 60°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg のブロックが水平と 20° をなす斜面を 19 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 1 kgθ = 20°μ = 0.25d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

25° の斜面の下端にあるばね定数 800 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.3 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 800 N/mx = 12 cmθ = 25°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

質量 8 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 12 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 4.5 kgh = 12 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 22 m/s で壁に当たり、5 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 22 m/sv_out = 5 m/sΔt = 20 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

大きな開放水槽から、直径 30 mm の刃形オリフィスを通って水が流出する。水位はオリフィスより 5.5 m 上に保たれ、流量係数は 0.65 である。流量 Q を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d = 30 mmh = 5.5 mC_d = 0.65g = 9.81 m/s²

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 75 mm に細くなりながら 6 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 180 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 75 mmp₁ = 180 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 6 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 0 °C のO₂が 170 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 170 gM = 32 g/molV = 10 LT = 0 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

650 kPa、110 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 110 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 375 °C の高温熱源と 5 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 3000 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 375 °CT_L = 5 °CQ_H = 3000 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 -10 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 6 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 6 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、45° を超えるすべての入射角で、エタノール（n = 1.36）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 45°n₂ = 1.36

n₁ =

20.波・音・光学むずかしい

波長 450 nm の光が、0.15 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 450 nmd = 0.15 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 1.333 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 36/3.6 = 10 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 10/7.5 = 1.333 s

答え

t = 1.333 s

2.運動学

答え: t = 44.43 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·9 = 22.5 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 22.5/3.5 = 6.429 s

合計時間

t = 9 + 29 + 6.429 = 44.43 s

答え

t = 44.43 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 0.5283 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 294.3 − 80·sin 35° = 248.4 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 65.53 − 49.68

a = 15.85/30 = 0.5283 m/s²

答え

a = 0.5283 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.962 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 19.62)/12.5 = 1.962 m/s²

答え

a = 1.962 m/s²

5.放物運動

答え: y = 4.219 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

壁までの時間

v_x = 22·cos 25° = 19.94 m/s

t = x/v_x = 15/19.94 = 0.7523 s

その時刻での高さ

y = 9.298·0.7523 − ½·9.81·0.7523² = 4.219 m

答え

y = 4.219 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: x = 60.45 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 25·cos 60° = 12.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 25·sin 60° = 21.65 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 10 + 21.65·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (21.65 + √(468.8 + 196.2))/9.81 = 4.836 s

水平距離

x = v_x·t = 12.5·4.836 = 60.45 m

答え

x = 60.45 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 43.79 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 9.81·0.9397 = 9.218 N

F = μN = 0.25·9.218 = 2.305 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 2.305·19 = 43.79 J

答え

W_f = 43.79 J

8.仕事とエネルギー

答え: d = 0.8454 m

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·800·0.12² = 5.76 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5.76/(9.81·(0.4226 + 0.3·0.9063)) = 0.8454 m

答え

d = 0.8454 m

9.運動量と衝突

答え: v = 864.6 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.12) = 1.534 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 4.5)·1.534/0.008 = 864.6 m/s

答え

v = 864.6 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 10.8 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(5 + 22) = 10.8 N·s

答え

J = 10.8 N·s

11.静水圧

答え: F = 117.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4 = 117.7 kN

答え

F = 117.7 kN

12.静水圧

答え: F = 81.12 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.75·3.75 = 81.12 kN

答え

F = 81.12 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 4.773 L/s

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

理想的な噴流速度

√(2gh) = √(2·9.81·5.5) = 10.39 m/s

実際の流量

流量係数は、噴流の縮流と縁での摩擦を考慮したものです。

Q = C_d·A·√(2gh) = 0.65·0.0007069·10.39 = 0.004773 m³/s = 4.773 L/s

答え

Q = 4.773 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 107.2 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(200/75)² = 5.333 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 5.333²)/1000 = −13.94 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·6/1000 = 58.86 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 180 + (−13.94) − 58.86 = 107.2 kPa

答え

p₂ = 107.2 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1206 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 170/32 = 5.313 mol

T = 0 + 273.15 = 273.1 K

圧力

P = nRT/V = 5.313·8.314·273.1/0.01 = 1206 kPa

答え

P = 1206 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 8.98 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 110 + 273.15 = 383.1 K

密度

ρ = 650·44.01/(8.314·383.1) = 8.98 kg/m³

答え

ρ = 8.98 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1713 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 375 + 273.15 = 648.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/648.1 = 57.09 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5709·3000 = 1713 kJ

答え

W_max = 1713 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.614 kW

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 6/9.772 = 0.614 kW

答え

Ẇ_min = 0.614 kW

19.波・音・光学

答え: n₁ = 1.923

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.36/0.7071 = 1.923

答え

n₁ = 1.923

20.波・音・光学

答え: Δy = 7.5 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 450 × 10⁻⁹·2.5/(0.15 × 10⁻³) = 7.5 mm

答え

Δy = 7.5 mm

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