基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.9 s で、その後、自動車は一定の減速度 6.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 54 km/ht_r = 0.9 sa = −6.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 4.5 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 4.5 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg と 5.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 5.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 1 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 4.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 4.5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 60° 上向きに打ち出すと、80 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 60°R = 80 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 5 m の崖の上から水平から 60° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 60°h = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1800 kg の自動車が 2° の坂を一定の 36 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 450 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1800 kgθ = 2°F_r = 450 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.5 kg のボールが 20 m/s で壁に当たり、8 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.5 kgv_in = 20 m/sv_out = 8 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 2 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 16 L/s で、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 280 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 16 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 280 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 7 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 230 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 230 kPav₁ = 3 m/sΔz = 7 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

450 kPa、50 °C において、CH₄ 80 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 80 gM = 16.04 g/molP = 450 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

450 kPa、40 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 450 kPaT = 40 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 700 °C の熱源から 3300 kJ の熱を受け取り、1130 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 700 °CQ_H = 3300 kJQ_L = 1130 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが -10 °C の熱源から熱をくみ上げ、22 °C の暖房システムに 5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 40% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = -10 °Cη_II = 40%Q̇_H = 5 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 5 m の距離でのレベルは 70 dB です。吸収と反射を無視して、15 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 70 dBr₁ = 5 mr₂ = 15 m

β₂ = dB

20.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 500 本の線があります。波長 532 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 500 mm⁻¹λ = 532 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: d = 30.81 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 15·0.9 = 13.5 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6.5) = 17.31 m

合計

d = 13.5 + 17.31 = 30.81 m

答え

d = 30.81 m

2.運動学

答え: d = 88.29 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.5 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1544 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1544))/(2·4.905) = 4.243 s

深さ

d = ½·9.81·4.243² = 88.29 m

答え

d = 88.29 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.848 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (10 − 5.5)·9.81/(10 + 5.5) = 2.848 m/s²

答え

a = 2.848 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 12.87 N

糸に沿った力

m₂·g = 44.15 N

m₁·g·sin θ = 4.146 N

μ·m₁·g·cos θ = 1.778 N

系の加速度

a = (44.15 − 4.146 − 1.778)/5.5 = 6.949 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 4.5·(9.81 − 6.949) = 12.87 N

答え

T = 12.87 N

5.放物運動

答え: v₀ = 30.1 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·80/sin 120°) = 30.1 m/s

答え

v₀ = 30.1 m/s

6.放物運動

答え: t = 2.989 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 60° = 7.5 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 60° = 12.99 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 5 + 12.99·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.99 + √(168.7 + 98.1))/9.81 = 2.989 s

答え

t = 2.989 s

7.仕事とエネルギー

答え: P = 10.66 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1800·9.81 = 17658 N

mg·sin θ = 17658·sin 2° = 616.3 N

F = 616.3 + 450 = 1066 N

電力

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1066·10 = 10663 W = 10.66 kW

答え

P = 10.66 kW

8.仕事とエネルギー

答え: x = 15.26 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(3.5 − 0.25·4.5) = 23.3 J

最大縮み

½kx² = 23.3 → x = √(2·23.3/2000) = 0.1526 m = 15.26 cm

答え

x = 15.26 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −0.6667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·6 = −0.6667 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·6 = 5.333 m/s

答え

v′₁ = −0.6667 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: J = 14 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.5·(8 + 20) = 14 N·s

答え

J = 14 N·s

11.静水圧

答え: F = 165.5 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·4.5 = 165.5 kN

答え

F = 165.5 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.556 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.5·2 = 25.9 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 2·1³/12 = 0.1667 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 0.1667/(1.5·2) = 1.556 m

答え

y_cp = 1.556 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 281.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.016/0.01767 = 0.9054 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.016/0.007854 = 2.037 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 280 + ½·1000·(2.037² − 0.9054²)/1000 = 280 + 1.665 = 281.7 kPa

答え

p₁ = 281.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 110.2 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/40)² = 10.55 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 10.55²)/1000 = −51.12 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·7/1000 = 68.67 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 230 + (−51.12) − 68.67 = 110.2 kPa

答え

p₂ = 110.2 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 29.78 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 80/16.04 = 4.988 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体積

V = nRT/P = 4.988·8.314·323.1/450 = 29.78 L

答え

V = 29.78 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.841 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 40 + 273.15 = 313.1 K

密度

ρ = 450·28.01/(8.314·313.1) = 4.841 kg/m³

答え

ρ = 4.841 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 60.08 °C

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

熱源の絶対温度

T_H = 700 + 273.15 = 973.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 973.1·1130/3300 = 333.2 K = 60.08 °C

答え

T_L = 60.08 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.355 kW

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 263.1) = 9.223

COP = 0.4·9.223 = 3.689

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 5/3.689 = 1.355 kW

答え

Ẇ = 1.355 kW

19.波・音・光学

答え: β₂ = 60.46 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (5/15)² = 0.1111

新しいレベル

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.1111) = 60.46 dB

答え

β₂ = 60.46 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

20.波・音・光学

答え: m_max = 3

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/500 mm = 2 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 2 µm/0.532 µm = 3.759 → m_max = 3

答え

m_max = 3

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