基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 4.8 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 4.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 35°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s、水平から 25° 上向きに、90 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 38 m/sθ = 25°x = 90 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 30° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 30°h = 40 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 200 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 10 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 200 N/mx = 10 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックがあらい水平な机の上にある（μ = 0.25）。軽い糸がそこから机の端のなめらかな滑車を通って、つり下げられた質量 2 kg のブロックにつながっている。系を静かに放す。つり下げられたブロックが 3 m 下がった後のブロックの速さ v を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgμ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、9 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 1.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 5 kgm₂ = 1.5 kgv₁ = 9 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 8 m/s で壁に当たり、7 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 8 m/sv_out = 7 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 3 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 270 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 100 mm に細くなりながら 4 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 350 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 350 kPav₁ = 3 m/sΔz = 4 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

800 kPa、55 °C において、N₂ 400 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 400 gM = 28.01 g/molP = 800 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

350 kPa、30 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 350 kPaT = 30 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 450 °C の熱源から熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 36% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 450 °CT_L = 20 °Cη = 36%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 750 °C の熱源から 3200 kJ の熱を受け取り、1792 kJ の仕事をして、残りを 30 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 750 °CT_L = 30 °CQ_H = 3200 kJW = 1792 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 65 dB になります。同一の機械 3 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 65 dBn = 3

β = dB

20.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、0.5 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1 m 先にあります。中央の明線から 5 番目の明線までの距離 y₅ を求めてください。

λ = 600 nmd = 0.5 mmL = 1 mm = 5

y₅ = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 90 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·5) = 90 m

答え

s = 90 m

2.運動学

答え: d = 99.73 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(4.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1646 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1646))/(2·4.905) = 4.509 s

深さ

d = ½·9.81·4.509² = 99.73 m

答え

d = 99.73 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.823 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.1·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.08192) = 4.823 m/s²

答え

a = 4.823 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.384 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 20.73 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.891 N

系の加速度

a = (93.2 − 20.73 − 8.891)/14.5 = 4.384 m/s²

答え

a = 4.384 m/s²

5.放物運動

答え: y = 8.471 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

壁までの時間

v_x = 38·cos 25° = 34.44 m/s

t = x/v_x = 90/34.44 = 2.613 s

その時刻での高さ

y = 16.06·2.613 − ½·9.81·2.613² = 8.471 m

答え

y = 8.471 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: t = 5.073 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 30° = 29.44 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 30° = 17 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 17·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17 + √(289 + 784.8))/9.81 = 5.073 s

答え

t = 5.073 s

7.仕事とエネルギー

答え: h = 2.039 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·200·0.1² = 1 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1/0.4905 = 2.039 m

答え

h = 2.039 m

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.132 m/s

放出されるエネルギーと失われるエネルギー

m₂g·d = 19.62·3 = 58.86 J

μ·m₁g·d = 0.25·39.24·3 = 29.43 J

両方のブロックの運動エネルギー

½(m₁ + m₂)v² = 29.43 → v = √(2·29.43/6) = 3.132 m/s

答え

v = 3.132 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 4.846 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 1.5)/(5 + 1.5)·9 = 4.846 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 1.5)·9 = 13.85 m/s

答え

v′₁ = 4.846 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 150 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(7 + 8) = 1.5 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 1.5/0.01 = 150 N

答え

F_avg = 150 N

11.静水圧

答え: F = 161.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 3/2 = 5.5 m

A = H·b = 3·1 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·5.5·3 = 161.9 kN

答え

F = 161.9 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.8 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·2.25 = 82.77 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·1.5³/12 = 0.4219 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.75 + 0.4219/(3.75·2.25) = 3.8 m

答え

y_cp = 3.8 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 251.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(75/50)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−18.28) = 251.7 kPa

答え

p₂ = 251.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 243.3 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(200/100)² = 12 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 12²)/1000 = −67.5 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·4/1000 = 39.24 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 350 + (−67.5) − 39.24 = 243.3 kPa

答え

p₂ = 243.3 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 48.7 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 400/28.01 = 14.28 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体積

V = nRT/P = 14.28·8.314·328.1/800 = 48.7 L

答え

V = 48.7 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 3.89 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 30 + 273.15 = 303.1 K

密度

ρ = 350·28.01/(8.314·303.1) = 3.89 kg/m³

答え

ρ = 3.89 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 60.54 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 293.1/723.1 = 59.46 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 36/59.46 = 60.54 %

答え

η_II = 60.54 %

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.517 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 3200 − 1792 = 1408 kJ

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −3200/1023 = −3.128 kJ/K

ΔS_L = 1408/303.1 = 4.645 kJ/K

S_gen = 4.645 − 3.128 = 1.517 kJ/K

答え

S_gen = 1.517 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: β = 69.77 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 3·I₁

レベル

β = 65 + 10·log₁₀(3) = 69.77 dB

答え

β = 69.77 dB

20.波・音・光学

答え: y₅ = 6 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 600 × 10⁻⁹·1/(0.5 × 10⁻³) = 1.2 mm

5 番目の縞

y₅ = 5·1.2 = 6 mm

答え

y₅ = 6 mm

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