基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 30 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4.5 m/s² で一様に加速する。パトカーが追いつくまでの時間はどれだけか。t を求めよ。

v_car = 30 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 8 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 8 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 40 kg の箱を、水平と 20° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 40 kgθ = 20°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 32 m/s、水平から 65° 上向きに、16 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 32 m/sθ = 65°x = 16 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

高さ 60 m のがけの上から、ボールを 15 m/s、水平から 45° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 45°h = 60 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 2000 kg の自動車が 6° の坂を一定の 90 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 550 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 2000 kgθ = 6°F_r = 550 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックが 35° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 100 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.3 である。ブロックが斜面を 3 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 10 kgF = 100 Nθ = 35°μ = 0.3d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

水平に 8 m/s で動いている質量 14 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 9 kg の破片は前向きに 48 m/s で進み続ける。質量 5 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 14 kgu = 8 m/sm₁ = 9 kgv′₁ = 48 m/sm₂ = 5 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 18 m/s で走る質量 1400 kg の自動車が、北向きに 19 m/s で走る質量 1400 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1400 kgv₁ = 18 m/s (E)m₂ = 1400 kgv₂ = 19 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 150 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 150 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 25 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 0.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 25 mmz_C = +0.5 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 50 °C のN₂が 460 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 460 gM = 28.01 g/molV = 20 LT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

150 kPa、60 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 150 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 725 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4200 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 725 °CT_L = 15 °CQ_H = 4200 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 750 °C の熱源から 140 kW の熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -25 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 30 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 750 °CT₀ = 30 °CT_L = -25 °CQ̇_H = 140 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管は、第 3 倍音が 686 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 3f₃ = 686 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 1200 本の線があります。波長 656 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 1200 mm⁻¹λ = 656 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: t = 13.33 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·30/4.5 = 13.33 s

答え

t = 13.33 s

その瞬間、パトカーは 2v = 60 m/s で走っています。

2.運動学

答え: h_max = 38.26 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

地面からの高さ

h_max = 35 + 3.262 = 38.26 m

答え

h_max = 38.26 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 189.5 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 134.2 + 55.31 = 189.5 N

答え

F = 189.5 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 20.14 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 3.924)/7.5 = 4.055 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 4·4.055 + 3.924 = 20.14 N

答え

T = 20.14 N

5.放物運動

答え: y = 27.45 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

壁までの時間

v_x = 32·cos 65° = 13.52 m/s

t = x/v_x = 16/13.52 = 1.183 s

その時刻での高さ

y = 29·1.183 − ½·9.81·1.183² = 27.45 m

答え

y = 27.45 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: H = 65.73 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

鉛直方向の初速

v_y = 15·sin 45° = 10.61 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 10.61²/(2·9.81) = 5.734 m

地面からの高さ

H = 60 + 5.734 = 65.73 m

答え

H = 65.73 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 65.02 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 6° = 2051 N

F = 2051 + 550 = 2601 N

電力

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 2601·25 = 65021 W = 65.02 kW

答え

P = 65.02 kW

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.431 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿った力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 56.27 N

μ·mg·cos θ = 24.11 N

仕事とエネルギー

½mv² = (100 − 80.38)·3 = 58.87 J

v = √(2·58.87/10) = 3.431 m/s

答え

v = 3.431 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = −64 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突前の運動量

p = M·u = 14·8 = 112 kg·m/s

衝突後の運動量

112 = 9·48 + 5·v′₂

v′₂ = (112 − 432)/5 = −64 m/s

答え

v′₂ = −64 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

10.運動量と衝突

答え: v′ = 13.09 m/s

運動量の成分

p_x = 1400·18 = 25200 kg·m/s

p_y = 1400·19 = 26600 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 36642/2800 = 13.09 m/s

答え

v′ = 13.09 m/s

11.静水圧

答え: F = 82.77 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3.75 = 82.77 kN

答え

F = 82.77 kN

12.静水圧

答え: F = 150.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2.5·6 = 150.8 kN

答え

F = 150.8 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 142.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/75)² = 4 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 4²)/1000 = −7.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 150 + (−7.5) = 142.5 kPa

答え

p₂ = 142.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 86.58 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(4.429²/2 + 9.81·0.5)/1000 = 101.3 − 14.71 = 86.58 kPa

答え

p_C = 86.58 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2206 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 460/28.01 = 16.42 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

圧力

P = nRT/V = 16.42·8.314·323.1/0.02 = 2206 kPa

答え

P = 2206 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.2168 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 150·4.003/(8.314·333.1) = 0.2168 kg/m³

答え

ρ = 0.2168 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 2988 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/998.1 = 71.13 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.7113·4200 = 2988 kJ

答え

W_max = 2988 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 444.5 kW

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

機関の仕事

η = 1 − 303.1/1023 = 0.7037

Ẇ = 0.7037·140 = 98.52 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 248.1/(303.1 − 248.1) = 4.512

Q̇_L = 4.512·98.52 = 444.5 kW

答え

Q̇_L = 444.5 kW

19.波・音・光学

答え: L = 0.75 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/686 = 0.5 m

長さ

L = nλ/2 = 3·0.5/2 = 0.75 m

答え

L = 0.75 m

20.波・音・光学

答え: m_max = 1

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/1200 mm = 0.8333 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 0.8333 µm/0.656 µm = 1.27 → m_max = 1

答え

m_max = 1

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