基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

モデルロケットを静止状態から真上に打ち上げる。エンジンは 1 s の間、一定の上向きの加速度 22 m/s² を与え、その後エンジンが止まってロケットは自由に運動する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ロケットが達する最高の高さ h_max を求めよ。

a = 22 m/s²t₁ = 1 sg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8.5 kg と 4.5 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 4.5 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 5.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 5.5 kgm₂ = 4.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 20°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 35 m/sθ = 55°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 2.5 kg のブロックが水平と 20° をなす斜面を 12 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 2.5 kgθ = 20°μ = 0.1d = 12 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3.5 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 500 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 0.5 kgh = 3.5 mL = 4.5 mμ = 0.3k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

18 m/s で動いている質量 1500 kg の自動車が、静止している質量 1200 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1500 kgv₁ = 18 m/sm₂ = 1200 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.2 kg のボールが 15 m/s で壁に当たり、12 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.2 kgv_in = 15 m/sv_out = 12 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

風洞内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 250 Pa を示す。空気の密度は 1.2 kg/m³ である。風速 v を求めよ。

p₀ − p = 250 Paρ = 1.2 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 380 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 380 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 25 °C のCO₂が 420 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 420 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 25 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のN₂が 150 kPa、10 L、15 °C から 450 kPa、240 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 15 °CP₂ = 450 kPaT₂ = 240 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 550 °C の熱源から熱を受け取り、40 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 40% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 550 °CT_L = 40 °Cη = 40%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 2 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 10 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 2 °CQ̇_H = 10 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、24.4° を超えるすべての入射角で、空気（n = 1.00）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 24.4°n₂ = 1.00

n₁ =

20.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、幅 0.2 mm の単スリットを通ります。1 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 589 nma = 0.2 mmL = 1 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 22.32 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·3.5) = 22.32 m

答え

s = 22.32 m

2.運動学

答え: h_max = 35.67 m

動力飛行段階

v₁ = 22·1 = 22 m/s

h₁ = ½·22·1² = 11 m

上昇中の自由飛行

最高点では速度は 0 です。

Δh = v₁²/(2g) = 22²/(2·9.81) = 24.67 m

h_max = 11 + 24.67 = 35.67 m

答え

h_max = 35.67 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.018 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (8.5 − 4.5)·9.81/(8.5 + 4.5) = 3.018 m/s²

答え

a = 3.018 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 31.56 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (44.15 − 16.19)/10 = 2.796 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 5.5·2.796 + 16.19 = 31.56 N

答え

T = 31.56 N

5.放物運動

答え: t = 2.371 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 34·cos 20° = 31.95 m/s

v_y = v₀·sin θ = 34·sin 20° = 11.63 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·11.63/9.81 = 2.371 s

答え

t = 2.371 s

6.放物運動

答え: x = 132.8 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 35·cos 55° = 20.08 m/s

v_y = v₀·sin θ = 35·sin 55° = 28.67 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 28.67·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (28.67 + √(822 + 490.5))/9.81 = 6.616 s

水平距離

x = v_x·t = 20.08·6.616 = 132.8 m

答え

x = 132.8 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 27.66 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 24.53·0.9397 = 23.05 N

F = μN = 0.1·23.05 = 2.305 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 2.305·12 = 27.66 J

答え

W_f = 27.66 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 6.495 m/s

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(3.5 − 0.3·4.5) = 10.55 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·2.15) = 6.495 m/s

答え

v = 6.495 m/s

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 108000 J

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1500·18/2700 = 10 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1500·18² = 243000 J

K_after = ½·2700·10² = 135000 J

失われたエネルギー

ΔK = 243000 − 135000 = 108000 J

答え

ΔK = 108000 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 1080 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.2·(12 + 15) = 5.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 5.4/0.005 = 1080 N

答え

F_avg = 1080 N

11.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1/2 = 2 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·3 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

12.静水圧

答え: F = 181 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·6 = 181 kN

答え

F = 181 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 20.41 m/s

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·250/1.2) = 20.41 m/s

答え

v = 20.41 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 300.4 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/50)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 380 + (−1.143) − 78.48 = 300.4 kPa

答え

p₂ = 300.4 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 4731 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 420/44.01 = 9.543 mol

T = 25 + 273.15 = 298.1 K

圧力

P = nRT/V = 9.543·8.314·298.1/0.005 = 4731 kPa

答え

P = 4731 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 5.936 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 513.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/450)·(513.1/288.1) = 5.936 L

答え

V₂ = 5.936 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 64.56 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 313.1/823.1 = 61.96 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 40/61.96 = 64.56 %

答え

η_II = 64.56 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.6776 kW

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 275.1) = 14.76

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 10/14.76 = 0.6776 kW

答え

Ẇ_min = 0.6776 kW

19.波・音・光学

答え: n₁ = 2.421

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.00/0.4131 = 2.421

答え

n₁ = 2.421

20.波・音・光学

答え: w = 5.89 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 589 × 10⁻⁹·1/(0.2 × 10⁻³) = 2.945 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 5.89 mm

答え

w = 5.89 mm

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