基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 1 s で、その後、自動車は一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 100 km/ht_r = 1 sa = −7.5 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 13 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 13 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 19 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 19 kgθ = 25°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 75 N が前の 7 kg のブロックを引き、4 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 7 kgF = 75 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 50°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 20 m/s、水平から 35° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 2 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 20 m/sθ = 35°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 200 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.2 kg のボールをその上に置き、ばねを 8 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.2 kgk = 200 N/mx = 8 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

30° の斜面の下端にあるばね定数 2000 N/m のばねを、質量 2 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 2 kgk = 2000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

16 m/s で動いている質量 900 kg の自動車が、静止している質量 700 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。元の運動エネルギーの何パーセント ΔK/K が失われるか。

m₁ = 900 kgv₁ = 16 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK/K = %

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 9 m/s で走る質量 900 kg の自動車が、北向きに 18 m/s で走る質量 1300 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 900 kgv₁ = 9 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 18 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 13 L/s で、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 110 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 13 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 75 mm、ゲージ圧は 90 kPa である。ノズル出口の直径は 25 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 75 mmp₁ = 90 kPa (ゲージ圧)d₂ = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 50 L のタンクに、温度 65 °C のArが 410 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 410 gM = 39.95 g/molV = 50 LT = 65 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

700 kPa、160 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 700 kPaT = 160 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 400 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 2700 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 400 °CT_L = 35 °CQ_H = 2700 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 0 °C のときに家を 21 °C に保ち、家に 8 kW の熱を供給する。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 21 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 8 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

光がクラウンガラス（n = 1.50）の中を、エタノール（n = 1.36）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.50n₂ = 1.36

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

2 枚の薄いレンズが同じ光軸上に 30 cm 離れて置かれています：レンズ 1 は f₁ = 10 cm、レンズ 2 は f₂ = −20 cm です。物体はレンズ 1 の 12 cm 前にあります。レンズ 2 から測った最終的な像の位置 d_i2 を求めてください（レンズ 2 より先が正、実像が正の規則）。

f₁ = 10 cmf₂ = −20 cms = 30 cmd_o = 12 cm

d_i2 = cm

3溶液

1.運動学

答え: d = 79.22 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 27.78·1 = 27.78 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 27.78²/(2·7.5) = 51.44 m

合計

d = 27.78 + 51.44 = 79.22 m

答え

d = 79.22 m

2.運動学

答え: t = 4.131 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−30 = 13·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 13·t − 30 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (13 + √(13² + 2·9.81·30))/9.81 = 4.131 s

答え

t = 4.131 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.368 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.2·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.1813) = 2.368 m/s²

答え

a = 2.368 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.856 m/s²

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (75 − 21.58)/11 = 4.856 m/s²

答え

a = 4.856 m/s²

5.放物運動

答え: H = 7.657 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 50° = 10.28 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 50° = 12.26 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 12.26²/(2·9.81) = 7.657 m

答え

H = 7.657 m

6.放物運動

答え: x = 35.21 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

v_x = 16.38 m/s, v_y = 11.47 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

2 = 11.47·t − 4.905·t²

t = (11.47 + √(11.47² − 2·9.81·2))/9.81 = 2.149 s

水平距離

x = v_x·t = 16.38·2.149 = 35.21 m

答え

x = 35.21 m

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.3262 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 8 cm = 0.08 m

½kx² = ½·200·0.08² = 0.64 J

高さ

m·g = 0.2·9.81 = 1.962 N

h = ½kx²/(mg) = 0.64/1.962 = 0.3262 m

答え

h = 0.3262 m

8.仕事とエネルギー

答え: d = 1.601 m

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·2000·0.15² = 22.5 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 2·9.81 = 19.62 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 22.5/(19.62·(0.5 + 0.25·0.866)) = 1.601 m

答え

d = 1.601 m

9.運動量と衝突

答え: ΔK/K = 43.75 %

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 900·16/1600 = 9 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·900·16² = 115200 J

K_after = ½·1600·9² = 64800 J

失われた割合

ΔK/K = 50400/115200 = 43.75 %

答え

ΔK/K = 43.75 %

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: v′ = 11.26 m/s

運動量の成分

p_x = 900·9 = 8100 kg·m/s

p_y = 1300·18 = 23400 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 24762/2200 = 11.26 m/s

答え

v′ = 11.26 m/s

11.静水圧

答え: F = 49.05 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·2 = 49.05 kN

答え

F = 49.05 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.722 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2³/12 = 1 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.5 + 1/(1.5·3) = 1.722 m

答え

y_cp = 1.722 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 111.1 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.013/0.01767 = 0.7356 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.013/0.007854 = 1.655 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(1.655² − 0.7356²)/1000 = 110 + 1.099 = 111.1 kPa

答え

p₁ = 111.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 9.289 m

出口流速

β = 25/75 = 0.3333

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·90000/(1000·0.9877)) = 13.5 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 13.5²/(2·9.81) = 9.289 m

答え

H = 9.289 m

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 577.1 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 410/39.95 = 10.26 mol

T = 65 + 273.15 = 338.1 K

圧力

P = nRT/V = 10.26·8.314·338.1/0.05 = 577.1 kPa

答え

P = 577.1 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 0.7781 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 160 + 273.15 = 433.1 K

密度

ρ = 700·4.003/(8.314·433.1) = 0.7781 kg/m³

答え

ρ = 0.7781 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1464 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 400 + 273.15 = 673.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/673.1 = 54.22 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5422·2700 = 1464 kJ

答え

W_max = 1464 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.5711 kW

絶対温度

T_H = 21 + 273.15 = 294.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 294.1/(294.1 − 273.1) = 14.01

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_H/COP = 8/14.01 = 0.5711 kW

答え

Ẇ_min = 0.5711 kW

19.波・音・光学

答え: θ_c = 65.05 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.36/1.50 = 0.9067

臨界角

θc = arcsin(0.9067) = 65.05°

答え

θ_c = 65.05°

20.波・音・光学

答え: d_i2 = −60 cm

レンズ 1 による像

1/d_i1 = 1/10 − 1/12 → d_i1 = 60 cm

レンズ 2 の物体

d_o2 = 30 − 60 = −30 cm

最終的な像

1/d_i2 = 1/(−20) − 1/(−30) → d_i2 = −60 cm

答え

d_i2 = −60 cm

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