基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 12 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 12 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 2 kg のブロックが、水平と 25° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 2 kgθ = 25°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6.5 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 25° 上向きに打ち出すと、145 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 25°R = 145 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 20° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 2000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 2 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 2000 N/mx = 2 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 5 mL = 5 mμ = 0.3k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

水平に 14 m/s で動いている質量 13 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 6 kg の破片は前向きに 40 m/s で進み続ける。質量 7 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 13 kgu = 14 m/sm₁ = 6 kgv′₁ = 40 m/sm₂ = 7 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 21 m/s で走る質量 1700 kg の自動車が、北向きに 11 m/s で走る質量 1300 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 1700 kgv₁ = 21 m/s (E)m₂ = 1300 kgv₂ = 11 m/s (N)

θ = °

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 40 L/s で、200 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 100 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 40 L/sd₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₂ = 100 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 150 mm、のど部 75 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 300 mm である。流量係数は 0.98 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmΔh = 300 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 45 °C のHeが 480 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 480 gM = 4.003 g/molV = 20 LT = 45 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

750 kPa、100 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 750 kPaT = 100 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 350 °C の熱源から 1700 kJ の熱を受け取り、772 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 350 °CQ_H = 1700 kJQ_L = 772 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 500 °C の熱源から 40 kW の熱を受け取り、25 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -5 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 25 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 500 °CT₀ = 25 °CT_L = -5 °CQ̇_H = 40 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦の長さは 1.5 m で、その上を波が 150 m/s で伝わります。その第 2 倍音の振動数 f₂ を求めてください。

v = 150 m/sn = 2L = 1.5 m

f₂ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 10 cm の凸面鏡の 25 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 25 cmR = 10 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: s = 25.25 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·5.5) = 25.25 m

答え

s = 25.25 m

2.運動学

答え: t = 4.161 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 12·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 12·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (12 + √(12² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.161 s

答え

t = 4.161 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.146 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0) = 4.146 m/s²

答え

a = 4.146 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 26.78 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 12.75)/10 = 2.158 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6.5·2.158 + 12.75 = 26.78 N

答え

T = 26.78 N

5.放物運動

答え: v₀ = 43.09 m/s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·145/sin 50°) = 43.09 m/s

答え

v₀ = 43.09 m/s

6.放物運動

答え: x = 104.4 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 20° = 29.13 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 20° = 10.6 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 10.6·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (10.6 + √(112.4 + 490.5))/9.81 = 3.584 s

水平距離

x = v_x·t = 29.13·3.584 = 104.4 m

答え

x = 104.4 m

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.8155 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 2 cm = 0.02 m

½kx² = ½·2000·0.02² = 0.4 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 0.4/0.4905 = 0.8155 m

答え

h = 0.8155 m

8.仕事とエネルギー

答え: x = 37.06 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(5 − 0.3·5) = 343.4 J

最大縮み

½kx² = 343.4 → x = √(2·343.4/5000) = 0.3706 m = 37.06 cm

答え

x = 37.06 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = −8.286 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

衝突前の運動量

p = M·u = 13·14 = 182 kg·m/s

衝突後の運動量

182 = 6·40 + 7·v′₂

v′₂ = (182 − 240)/7 = −8.286 m/s

答え

v′₂ = −8.286 m/s

マイナス符号は、2 つ目の破片が後ろ向きに飛ぶことを意味します。

10.運動量と衝突

答え: θ = 21.83 °

運動量の成分

p_x = 1700·21 = 35700 kg·m/s

p_y = 1300·11 = 14300 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 0.4006 → θ = 21.83°

答え

θ = 21.83°

11.静水圧

答え: F = 25.75 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·1.5 = 25.75 kN

答え

F = 25.75 kN

12.静水圧

答え: F = 264.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·6 = 264.9 kN

答え

F = 264.9 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 112.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.04/0.03142 = 1.273 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.04/0.007854 = 5.093 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 100 + ½·1000·(5.093² − 1.273²)/1000 = 100 + 12.16 = 112.2 kPa

答え

p₁ = 112.2 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 38.51 L/s

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.3 = 37082 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 75/150 = 0.5

v₂ = √(2·37082/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.894 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.004418·8.894 = 0.03851 m³/s = 38.51 L/s

答え

Q = 38.51 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 15859 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 480/4.003 = 119.9 mol

T = 45 + 273.15 = 318.1 K

圧力

P = nRT/V = 119.9·8.314·318.1/0.02 = 15859 kPa

答え

P = 15859 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 10.64 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 100 + 273.15 = 373.1 K

密度

ρ = 750·44.01/(8.314·373.1) = 10.64 kg/m³

答え

ρ = 10.64 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 9.833 °C

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

熱源の絶対温度

T_H = 350 + 273.15 = 623.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 623.1·772/1700 = 283 K = 9.833 °C

答え

T_L = 9.833 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 219.7 kW

絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T₀ = 25 + 273.15 = 298.1 K

T_L = -5 + 273.15 = 268.1 K

機関の仕事

η = 1 − 298.1/773.1 = 0.6144

Ẇ = 0.6144·40 = 24.57 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 268.1/(298.1 − 268.1) = 8.938

Q̇_L = 8.938·24.57 = 219.7 kW

答え

Q̇_L = 219.7 kW

19.波・音・光学

答え: f₂ = 100 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.5/2 = 1.5 m

振動数

f = v/λ = 150/1.5 = 100 Hz

答え

f₂ = 100 Hz

20.波・音・光学

答え: m = 0.1667

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = −R/2 = −5 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−5) − 1/25

d_i = −4.167 cm

倍率

m = −(−4.167)/25 = 0.1667

答え

m = 0.1667

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