基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

100 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 100 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 7 s 加速し、次に 8 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 7 st₂ = 8 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 25 kg の箱を、水平と 40° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 25 kgθ = 40°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

25° の斜面上にある質量 9.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9.5 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 9.5 kgm₂ = 9.5 kgθ = 25°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 50 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 13 m/sθ = 45°h = 50 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 25° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。斜面に沿って 19 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 25°μ = 0.2d = 19 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg の台車が、半径 5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 22.5 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 0.5 kgh = 22.5 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、2 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 0.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 0.5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 22 m/s で走る質量 1600 kg の自動車が、北向きに 15 m/s で走る質量 1200 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1600 kgv₁ = 22 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 15 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 210 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 210 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 3 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 4.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を求めよ。

d = 20 mmz_C = +3 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 35 °C のCH₄が 70 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 70 gM = 16.04 g/molV = 5 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

250 kPa、130 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 250 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 500 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 33% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 500 °CT_L = 30 °Cη = 33%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、28 °C のキッチンで冷蔵室を -25 °C に保ち、冷蔵室から 1 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 28 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 1 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 1 m の距離でのレベルは 70 dB です。吸収と反射を無視して、10 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 70 dBr₁ = 1 mr₂ = 10 m

β₂ = dB

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.48、クラッドは n₂ = 1.43 です。空気中からファイバーの端に入った光が、全反射によってなお導かれる、ファイバーの軸に対する最大の角度 θ_a を求めてください。

n₁ = 1.48n₂ = 1.43n₀ = 1.00

θ_a = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 5.051 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 100/3.6 = 27.78 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 27.78/5.5 = 5.051 s

答え

t = 5.051 s

2.運動学

答え: s = 252.3 m

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·7 = 17.5 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·7² = 61.25 m

s₂ = 17.5·8 = 140 m

s₃ = 17.5²/(2·3) = 51.04 m

全距離

s = 61.25 + 140 + 51.04 = 252.3 m

答え

s = 252.3 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 176.4 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 157.6 + 18.79 = 176.4 N

答え

F = 176.4 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.388 m/s²

糸に沿った力

m₂·g = 93.2 N

m₁·g·sin θ = 39.39 N

μ·m₁·g·cos θ = 8.446 N

系の加速度

a = (93.2 − 39.39 − 8.446)/19 = 2.388 m/s²

答え

a = 2.388 m/s²

5.放物運動

答え: x = 46.36 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 55° = 12.62 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 55° = 18.02 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·18.02/9.81 = 3.674 s

水平距離

x = v_x·t = 12.62·3.674 = 46.36 m

答え

x = 46.36 m

6.放物運動

答え: x = 39.2 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 13·cos 45° = 9.192 m/s

v_y = v₀·sin θ = 13·sin 45° = 9.192 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 50 + 9.192·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.192 + √(84.5 + 981))/9.81 = 4.264 s

水平距離

x = v_x·t = 9.192·4.264 = 39.2 m

答え

x = 39.2 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 9.485 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·19·(0.4226 − 0.2·0.9063)) = 9.485 m/s

答え

v = 9.485 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: N = 19.62 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(22.5 − 10) = 245.3 m²/s²

最高点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·245.3/5 − 4.905 = 19.62 N

答え

N = 19.62 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 1 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 0.5)/(1.5 + 0.5)·2 = 1 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 0.5)·2 = 3 m/s

答え

v′₁ = 1 m/s

10.運動量と衝突

答え: v′ = 14.12 m/s

運動量の成分

p_x = 1600·22 = 35200 kg·m/s

p_y = 1200·15 = 18000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 39535/2800 = 14.12 m/s

答え

v′ = 14.12 m/s

11.静水圧

答え: F = 66.22 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3 = 66.22 kN

答え

F = 66.22 kN

12.静水圧

答え: F = 84.98 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 2.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·2.75·2.5 = 84.98 kN

答え

F = 84.98 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 198.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(150/75)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−11.72) = 198.3 kPa

答え

p₂ = 198.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 2.952 L/s

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·9.396 = 0.002952 m³/s = 2.952 L/s

答え

Q = 2.952 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2236 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 70/16.04 = 4.364 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

圧力

P = nRT/V = 4.364·8.314·308.1/0.005 = 2236 kPa

答え

P = 2236 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.387 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 250·32/(8.314·403.1) = 2.387 kg/m³

答え

ρ = 2.387 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 54.28 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 500 + 273.15 = 773.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 303.1/773.1 = 60.79 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 33/60.79 = 54.28 %

答え

η_II = 54.28 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.2136 kW

絶対温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(301.1 − 248.1) = 4.682

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1/4.682 = 0.2136 kW

答え

Ẇ_min = 0.2136 kW

19.波・音・光学

答え: β₂ = 50 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (1/10)² = 0.01

新しいレベル

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.01) = 50 dB

答え

β₂ = 50 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

20.波・音・光学

答え: θ_a = 22.42 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.43/1.48 = 0.9662 → θc = 75.06°

開口数

NA = √(1.48² − 1.43²) = 0.3814

受光角

θ_a = arcsin(0.3814) = 22.42°

答え

θ_a = 22.42°

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