基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2 m/s² で 9 s 加速し、次に 17 s 等速で走り、最後に 2 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2 m/s²t₁ = 9 st₂ = 17 sa₃ = −2 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 7.5 kg と 2 kg のおもりが、軽くて摩擦のない滑車の両側に軽い糸でつながれてつり下げられている。系を静かに放す。g = 9.81 m/s² とする。おもりの加速度 a を求めよ。

m₁ = 7.5 kgm₂ = 2 kgg = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 7 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 7 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 65° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 65°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 25°h = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 1000 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.05 kg のボールをその上に置き、ばねを 6 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.05 kgk = 1000 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 5 mμ = 0.1k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、10 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 3 kgv₁ = 10 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.15 kg のボールが 27 m/s で壁に当たり、13 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.15 kgv_in = 27 m/sv_out = 13 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 150 mm、のど部径 75 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 35 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 35 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 170 kPa の圧縮空気がある。水面より 2.5 m 下にある直径 25 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 170 kPa (ゲージ圧)h = 2.5 md = 25 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

500 kPa、70 °C において、N₂ 230 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 230 gM = 28.01 g/molP = 500 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

850 kPa、70 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 850 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 2 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -25 °C に保ち、40 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -25 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 2 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 5 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 15 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 5 °CQ̇_H = 15 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管の長さは 1 m です。音速は 343 m/s です。その第 5 倍音の振動数 f₅ を求めてください。

v = 343 m/sn = 5L = 1 m

f₅ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、25 m/s で近づいてくる車に向けて 40 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 25 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 123.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·4.5) = 123.5 m

答え

s = 123.5 m

2.運動学

答え: s = 468 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2·9 = 18 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2·9² = 81 m

s₂ = 18·17 = 306 m

s₃ = 18²/(2·2) = 81 m

全距離

s = 81 + 306 + 81 = 468 m

答え

s = 468 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.679 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

加速度

正味の駆動力は重さの差で、それが全質量を動かします。

a = (7.5 − 2)·9.81/(7.5 + 2) = 5.679 m/s²

答え

a = 5.679 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.7745 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 17.17)/9.5 = 0.7745 m/s²

答え

a = 0.7745 m/s²

5.放物運動

答え: x = 7.809 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 65° = 4.226 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 65° = 9.063 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·9.063/9.81 = 1.848 s

水平距離

x = v_x·t = 4.226·1.848 = 7.809 m

答え

x = 7.809 m

6.放物運動

答え: t = 3.396 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 25° = 19.94 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 25° = 9.298 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 9.298·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (9.298 + √(86.45 + 490.5))/9.81 = 3.396 s

答え

t = 3.396 s

7.仕事とエネルギー

答え: h = 3.67 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·1000·0.06² = 1.8 J

高さ

m·g = 0.05·9.81 = 0.4905 N

h = ½kx²/(mg) = 1.8/0.4905 = 3.67 m

答え

h = 3.67 m

8.仕事とエネルギー

答え: x = 49.52 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.1·5) = 98.1 J

最大縮み

½kx² = 98.1 → x = √(2·98.1/800) = 0.4952 m = 49.52 cm

答え

x = 49.52 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 11.43 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 3)/(4 + 3)·10 = 1.429 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 3)·10 = 11.43 m/s

答え

v′₂ = 11.43 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 600 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.15·(13 + 27) = 6 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 6/0.01 = 600 N

答え

F_avg = 600 N

11.静水圧

答え: F = 91.97 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 2.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·2.5 = 91.97 kN

答え

F = 91.97 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.111 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3·6 = 155.4 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2³/12 = 2 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 2/(3·6) = 3.111 m

答え

y_cp = 3.111 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 38.17 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(75/150)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·35000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.641 m/s

v₁ = 2.16 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.004418·8.641 = 0.03817 m³/s = 38.17 L/s

答え

Q = 38.17 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 9.682 L/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(170000/1000 + 9.81·2.5)) = 19.72 m/s

流量

Q = A·v = 0.0004909·19.72 = 0.009682 m³/s = 9.682 L/s

答え

Q = 9.682 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 46.85 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 230/28.01 = 8.211 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体積

V = nRT/P = 8.211·8.314·343.1/500 = 46.85 L

答え

V = 46.85 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.534 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

密度

ρ = 850·32/(8.314·343.1) = 9.534 kg/m³

答え

ρ = 9.534 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 2.524 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 2·313.1/248.1 = 2.524 kW

答え

Q̇_H = 2.524 kW

入力動力：Ẇ = 0.5239 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 17.36

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 278.1) = 17.36

答え

COP_max = 17.36

19.波・音・光学

答え: f₅ = 428.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 4L/n = 4·1/5 = 0.8 m

振動数

f = v/λ = 343/0.8 = 428.8 Hz

答え

f₅ = 428.8 Hz

20.波・音・光学

答え: f″ = 46289 Hz

車での振動数

f′ = 40000·(343 + 25)/343 = 42915 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 25) = 46289 Hz

答え

f″ = 46289 Hz

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