基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 11 s 加速し、次に 30 s 等速で走り、最後に 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 11 st₂ = 30 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 45 kg の箱を、水平と 15° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 45 kgθ = 15°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 60 N が前の 5 kg のブロックを引き、4 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.2 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgF = 60 Nμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、85 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 15 m のがけの上から、ボールを 22 m/s、水平から 60° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 60°h = 15 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 0.5 kg の小球が長さ 0.5 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 70° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 0.5 kgL = 0.5 mθ = 70°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 15 kg のブロックが 35° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 165 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.15 である。ブロックが斜面を 9 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 15 kgF = 165 Nθ = 35°μ = 0.15d = 9 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、4 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 2 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 2 kgv₁ = 4 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.55 kg のボールが 25 m/s で壁に当たり、8 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 25 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.55 kgv_in = 25 m/sv_out = 8 m/sΔt = 25 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 390 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 250 mm、のど部 125 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 140 mm である。流量係数は 0.97 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 140 mmC_d = 0.97ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 95 °C のO₂が 360 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 360 gM = 32 g/molV = 20 LT = 95 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

750 kPa、180 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 750 kPaT = 180 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 225 °C の高温熱源と 5 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4500 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 225 °CT_L = 5 °CQ_H = 4500 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

熱機関が 1 サイクルあたり 800 °C の熱源から 3600 kJ の熱を受け取り、2052 kJ の仕事をして、残りを 40 °C の熱源へ放出する。1 サイクルあたりの全エントロピー生成量 S_gen を求めよ。

T_H = 800 °CT_L = 40 °CQ_H = 3600 kJW = 2052 kJ

S_gen = kJ/K

19.波・音・光学ふつう

機械 1 台で、ある地点の音のレベルが 72 dB になります。同一の機械 4 台が同時に動いているときの、その地点でのレベル β を求めてください（インコヒーレントな音源）。

β₁ = 72 dBn = 4

β = dB

20.波・音・光学むずかしい

波長 600 nm の光が、幅 0.12 mm の単スリットを通ります。2 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 600 nma = 0.12 mmL = 2 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 4.167 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 25/6 = 4.167 s

答え

t = 4.167 s

2.運動学

答え: s = 1071 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·11 = 27.5 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·11² = 151.3 m

s₂ = 27.5·30 = 825 m

s₃ = 27.5²/(2·4) = 94.53 m

全距離

s = 151.3 + 825 + 94.53 = 1071 m

答え

s = 1071 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 178.2 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 114.3 + 63.96 = 178.2 N

答え

F = 178.2 N

4.ニュートンの法則

答え: T = 26.67 N

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (60 − 17.66)/9 = 4.705 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 4·(4.705 + 1.962) = 26.67 N

答え

T = 26.67 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: θ = 15.7 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/40² = 0.5212

位相角

2θ = 31.41° → θ = 15.7°

答え

θ = 15.7°

もう 1 つの解は 90° − θ = 74.3° です。

6.放物運動

答え: H = 33.5 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 22·sin 60° = 19.05 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 19.05²/(2·9.81) = 18.5 m

地面からの高さ

H = 15 + 18.5 = 33.5 m

答え

H = 33.5 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 11.36 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·0.5·(1 − cos 70°) = 6.455 m²/s²

最下点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

T = mg + mv²/L = 4.905 + 0.5·6.455/0.5 = 11.36 N

答え

T = 11.36 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 11.36 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 8.661 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿った力

m·g = 15·9.81 = 147.2 N

mg·sin θ = 84.4 N

μ·mg·cos θ = 18.08 N

仕事とエネルギー

½mv² = (165 − 102.5)·9 = 562.7 J

v = √(2·562.7/15) = 8.661 m/s

答え

v = 8.661 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = 1.538 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 2)/(4.5 + 2)·4 = 1.538 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 2)·4 = 5.538 m/s

答え

v′₁ = 1.538 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 18.15 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.55·(8 + 25) = 18.15 N·s

答え

J = 18.15 N·s

11.静水圧

答え: F = 110.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·2 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.75·3 = 110.4 kN

答え

F = 110.4 kN

12.静水圧

答え: F = 72.84 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·3.75·2.25 = 72.84 kN

答え

F = 72.84 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 388.9 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/50)² = 1.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 1.688²)/1000 = −1.143 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−1.143) = 388.9 kPa

答え

p₂ = 388.9 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 72.33 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.14 = 17305 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 125/250 = 0.5

v₂ = √(2·17305/(1000·(1 − 0.0625))) = 6.076 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.97·0.01227·6.076 = 0.07233 m³/s = 72.33 L/s

答え

Q = 72.33 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 1722 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 360/32 = 11.25 mol

T = 95 + 273.15 = 368.1 K

圧力

P = nRT/V = 11.25·8.314·368.1/0.02 = 1722 kPa

答え

P = 1722 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 8.761 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 180 + 273.15 = 453.1 K

密度

ρ = 750·44.01/(8.314·453.1) = 8.761 kg/m³

答え

ρ = 8.761 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1987 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 278.1/498.1 = 44.16 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.4416·4500 = 1987 kJ

答え

W_max = 1987 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: S_gen = 1.589 kJ/K

エントロピー生成：1 サイクル全体で作動流体の正味のエントロピー変化はありません。高温熱源は Q_H/T_H を失い、低温熱源は Q_L/T_L を得ます。その和が生成されたエントロピーで、可逆サイクルでは 0、実際のサイクルではすべて正になります。

放出熱

Q_L = Q_H − W = 3600 − 2052 = 1548 kJ

絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

T_L = 40 + 273.15 = 313.1 K

熱源のエントロピー変化

ΔS_H = −3600/1073 = −3.355 kJ/K

ΔS_L = 1548/313.1 = 4.943 kJ/K

S_gen = 4.943 − 3.355 = 1.589 kJ/K

答え

S_gen = 1.589 kJ/K

S_gen > 0 なので、この機関は実現可能ですが不可逆です。

19.波・音・光学

答え: β = 78.02 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

全体の強さ

I = 4·I₁

レベル

β = 72 + 10·log₁₀(4) = 78.02 dB

答え

β = 78.02 dB

20.波・音・光学

答え: w = 20 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 600 × 10⁻⁹·2/(0.12 × 10⁻³) = 10 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 20 mm

答え

w = 20 mm

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