基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 11 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 11 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 5 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 5 kgθ = 20°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 135 N が前の 9 kg のブロックを引き、1 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 1 kgm₂ = 9 kgF = 135 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s で打ち出し、65 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 38 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 25 m のがけの上から、ボールを 19 m/s、水平から 20° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 19 m/sθ = 20°h = 25 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 35° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。斜面に沿って 11 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 35°μ = 0.2d = 11 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 20 kg のブロックが 35° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 165 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.15 である。ブロックが斜面を 4 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 20 kgF = 165 Nθ = 35°μ = 0.15d = 4 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、6 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 4.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 4 kgm₂ = 4.5 kgv₁ = 6 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.4 kg のボールが 19 m/s で壁に当たり、13 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.4 kgv_in = 19 m/sv_out = 13 m/sΔt = 50 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 210 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 210 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 250 mm、のど部 125 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 220 mm である。流量係数は 0.98 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 250 mmd₂ = 125 mmΔh = 220 mmC_d = 0.98ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 15 °C のArが 180 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 180 gM = 39.95 g/molV = 20 LT = 15 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 250 kPa、10 L、40 °C から 400 kPa、70 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 400 kPaT₂ = 70 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 675 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 2600 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 675 °CT_L = 20 °CQ_H = 2600 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 5 °C の熱源から熱をくみ上げ、20 °C の暖房システムに 13 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 50% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = 5 °Cη_II = 50%Q̇_H = 13 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管は、第 7 倍音が 800 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 7f₇ = 800 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、5 m/s で近づいてくる車に向けて 25 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 25 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: s = 92.59 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6) = 92.59 m

答え

s = 92.59 m

2.運動学

答え: t = 4.018 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 11·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 11·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (11 + √(11² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.018 s

答え

t = 4.018 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 0.5897 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.3·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.2819) = 0.5897 m/s²

答え

a = 0.5897 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 13.5 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (135 − 9.81)/10 = 12.52 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 1·(12.52 + 0.981) = 13.5 N

答え

T = 13.5 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: θ = 13.1 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/38² = 0.4416

位相角

2θ = 26.21° → θ = 13.1°

答え

θ = 13.1°

もう 1 つの解は 90° − θ = 76.9° です。

6.放物運動

答え: α = 52.28 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 19·cos 20° = 17.85 m/s

v_y0 = 19·sin 20° = 6.498 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(6.498² + 2·9.81·25) = 23.08 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 23.08/17.85 → α = 52.28°

答え

α = 52.28°

7.仕事とエネルギー

答え: v = 9.404 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·11·(0.5736 − 0.2·0.8192)) = 9.404 m/s

答え

v = 9.404 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: v = 3.368 m/s

斜面に沿った力

m·g = 20·9.81 = 196.2 N

mg·sin θ = 112.5 N

μ·mg·cos θ = 24.11 N

仕事とエネルギー

½mv² = (165 − 136.6)·4 = 113.4 J

v = √(2·113.4/20) = 3.368 m/s

答え

v = 3.368 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −0.3529 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 4.5)/(4 + 4.5)·6 = −0.3529 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 4.5)·6 = 5.647 m/s

答え

v′₁ = −0.3529 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: J = 12.8 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.4·(13 + 19) = 12.8 N·s

答え

J = 12.8 N·s

11.静水圧

答え: F = 40.47 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·1.5 = 40.47 kN

答え

F = 40.47 kN

12.静水圧

答え: F = 88.29 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1/2 = 4.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·2 = 88.29 kN

答え

F = 88.29 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 199.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/40)² = 4.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 4.688²)/1000 = −10.71 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 210 + (−10.71) = 199.3 kPa

答え

p₂ = 199.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 91.6 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.22 = 27193 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 125/250 = 0.5

v₂ = √(2·27193/(1000·(1 − 0.0625))) = 7.617 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.98·0.01227·7.617 = 0.0916 m³/s = 91.6 L/s

答え

Q = 91.6 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 539.7 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 180/39.95 = 4.506 mol

T = 15 + 273.15 = 288.1 K

圧力

P = nRT/V = 4.506·8.314·288.1/0.02 = 539.7 kPa

答え

P = 539.7 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 6.849 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 343.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(250/400)·(343.1/313.1) = 6.849 L

答え

V₂ = 6.849 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1796 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/948.1 = 69.08 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6908·2600 = 1796 kJ

答え

W_max = 1796 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.33 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 5 + 273.15 = 278.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 293.1/(293.1 − 278.1) = 19.54

COP = 0.5·19.54 = 9.772

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 13/9.772 = 1.33 kW

答え

Ẇ = 1.33 kW

19.波・音・光学

答え: L = 0.7503 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/800 = 0.4288 m

長さ

L = nλ/4 = 7·0.4288/4 = 0.7503 m

答え

L = 0.7503 m

20.波・音・光学

答え: f_b = 739.6 Hz

車での振動数

f′ = 25000·(343 + 5)/343 = 25364 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 5) = 25740 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 739.6 Hz

答え

f_b = 739.6 Hz

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