基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

72 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.7 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 72 km/ht_r = 0.7 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

球 A を高さ 20 m から静かに落とす。同時に、その真下の地面から球 B を 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。 2 つの球が出会うのはいつか。t を求めよ。

H = 20 mv_0B = 15 m/sg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 40 kg の箱を、水平と 35° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 40 kgθ = 35°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 34 m/s で打ち出し、85 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 34 m/sR = 85 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 55°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 2000 kg の自動車が 2° の坂を一定の 72 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 700 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 2000 kgθ = 2°F_r = 700 Nv = 72 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 2 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 6 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 5 kgh = 6 mR = 2 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

質量 8 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 23 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 3 kgh = 23 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 8 g の弾丸を、長さ 1.6 m の軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 40° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 4.5 kgL = 1.6 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 7 L/s で、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 180 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 7 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₂ = 180 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 1.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 4.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。点 C での絶対圧力 p_C を求めよ。大気圧は 101.3 kPa である。

d = 50 mmz_C = +1.5 mz₂ = −4.5 mg = 9.81 m/s²p_atm = 101.3 kPa

p_C = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

650 kPa、60 °C において、N₂ 300 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 300 gM = 28.01 g/molP = 650 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCH₄が 150 kPa、10 L、35 °C から 750 kPa、150 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 750 kPaT₂ = 150 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 300 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 300 °CT_L = 25 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、30 °C のキッチンで冷蔵室を -20 °C に保ち、冷蔵室から 2.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 30 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 2.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 30 cm の薄い収束レンズの 60 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 60 cmf = 30 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

光ファイバーのコアは n₁ = 1.55、クラッドは n₂ = 1.53 です。その開口数 NA を求めてください。

n₁ = 1.55n₂ = 1.53

NA =

3溶液

1.運動学

答え: d = 47.33 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 72/3.6 = 20 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 20·0.7 = 14 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 20²/(2·6) = 33.33 m

合計

d = 14 + 33.33 = 47.33 m

答え

d = 47.33 m

2.運動学

答え: t = 1.333 s

出会う時刻

上向きを正とし、地面を y = 0 とします。

20 − ½g·t² = 15·t − ½g·t² → t = 20/15 = 1.333 s

答え

t = 1.333 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 273.3 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 225.1 + 48.22 = 273.3 N

答え

F = 273.3 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 4.459 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/11 = 4.459 m/s²

答え

a = 4.459 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 23.08 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·85/34² = 0.7213

位相角

2θ = 46.16° → θ = 23.08°

答え

θ = 23.08°

もう 1 つの解は 90° − θ = 66.92° です。

6.放物運動

答え: x = 98.47 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 55° = 17.21 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 55° = 24.57 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 24.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (24.57 + √(603.9 + 392.4))/9.81 = 5.723 s

水平距離

x = v_x·t = 17.21·5.723 = 98.47 m

答え

x = 98.47 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 27.69 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 2000·9.81 = 19620 N

mg·sin θ = 19620·sin 2° = 684.7 N

F = 684.7 + 700 = 1385 N

電力

v = 72/3.6 = 20 m/s

P = F·v = 1385·20 = 27695 W = 27.69 kW

答え

P = 27.69 kW

8.仕事とエネルギー

答え: N = 49.05 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(6 − 4) = 39.24 m²/s²

最高点での力

m·g = 5·9.81 = 49.05 N

N = mv²/R − mg = 5·39.24/2 − 49.05 = 49.05 N

答え

N = 49.05 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v = 798.7 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.23) = 2.124 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 3)·2.124/0.008 = 798.7 m/s

答え

v = 798.7 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 1527 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.6·(1 − cos 40°) = 0.3743 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.3743) = 2.71 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 4.508·2.71/0.008 = 1527 m/s

答え

v = 1527 m/s

11.静水圧

答え: F = 132.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·4.5 = 132.4 kN

答え

F = 132.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.818 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1.5/2 = 2.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.75·4.5 = 121.4 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.75 + 0.8438/(2.75·4.5) = 2.818 m

答え

y_cp = 2.818 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 186 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.007/0.007854 = 0.8913 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.007/0.001963 = 3.565 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 180 + ½·1000·(3.565² − 0.8913²)/1000 = 180 + 5.958 = 186 kPa

答え

p₁ = 186 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p_C = 42.44 kPa

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·4.5) = √(2·9.81·4.5) = 9.396 m/s

水面から C へのベルヌーイの式

p_atm = p_C + ½ρv² + ρgz_C

p_C = 101.3 − 1000·(9.396²/2 + 9.81·1.5)/1000 = 101.3 − 58.86 = 42.44 kPa

答え

p_C = 42.44 kPa

この圧力が水の蒸気圧まで下がると、サイホンは働かなくなります。

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 45.64 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 300/28.01 = 10.71 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体積

V = nRT/P = 10.71·8.314·333.1/650 = 45.64 L

答え

V = 45.64 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 2.746 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 423.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/750)·(423.1/308.1) = 2.746 L

答え

V₂ = 2.746 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 47.98 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 300 + 273.15 = 573.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/573.1 = 47.98 %

答え

η_max = 47.98 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.4938 kW

絶対温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(303.1 − 253.1) = 5.063

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 2.5/5.063 = 0.4938 kW

答え

Ẇ_min = 0.4938 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = 60 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/30 − 1/60

d_i = 60 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 60 cm

20.波・音・光学

答え: NA = 0.2482

クラッドでの臨界角

sin θc = 1.53/1.55 = 0.9871 → θc = 80.79°

開口数

NA = √(1.55² − 1.53²) = 0.2482

答え

NA = 0.2482

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