基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 8 s 加速し、次に 6 s 等速で走り、最後に 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 8 st₂ = 6 sa₃ = −4 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 19 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 19 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 5 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 5 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

高さ 60 m のがけの上から、ボールを 10 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 10 m/sθ = 30°h = 60 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

おもちゃの発射装置に、ばね定数 400 N/m の鉛直なばねがある。質量 0.25 kg のボールをその上に置き、ばねを 6 cm 縮めてから放す。空気抵抗とばねの質量を無視して、ばねを縮めたときの位置から測ったボールの上昇高さ h を求めよ。

m = 0.25 kgk = 400 N/mx = 6 cmg = 9.81 m/s²

h = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2.5 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 2.5 mL = 4 mμ = 0.2k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 8 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 24 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 8 gM = 5 kgh = 24 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 20 g の弾丸を、長さ 1.9 m の軽い糸でつり下げた質量 2 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 25° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 20 gM = 2 kgL = 1.9 mθ = 25°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 3 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 400 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 400 kPav₁ = 1.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 75 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 340 kPa、流速は 0.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ = 340 kPav₁ = 0.5 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 30 L のタンクに、温度 60 °C のCH₄が 490 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 490 gM = 16.04 g/molV = 30 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

800 kPa、120 °C におけるN₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 28.01 g/molP = 800 kPaT = 120 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 450 °C の高温熱源と 35 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1800 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 450 °CT_L = 35 °CQ_H = 1800 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 0 °C のときに家を 22 °C に保ち、家に 14 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 14 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 10 cm の薄い収束レンズの 25 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 25 cmf = 10 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

波長 633 nm の光が、幅 0.1 mm の単スリットを通ります。2.5 m 先のスクリーン上の、中央の明るい極大の幅 w（両側の最初の暗線の間）を求めてください。

λ = 633 nma = 0.1 mmL = 2.5 m

w = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 5.556 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 33.33/6 = 5.556 s

答え

t = 5.556 s

2.運動学

答え: s = 250 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·8 = 20 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·8² = 80 m

s₂ = 20·6 = 120 m

s₃ = 20²/(2·4) = 50 m

全距離

s = 80 + 120 + 50 = 250 m

答え

s = 250 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.356 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答え

a = 2.356 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 14.01 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (49.05 − 0)/7 = 7.007 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2·7.007 + 0 = 14.01 N

答え

T = 14.01 N

5.放物運動

答え: x = 55.17 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 55° = 13.77 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 55° = 19.66 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·19.66/9.81 = 4.008 s

水平距離

x = v_x·t = 13.77·4.008 = 55.17 m

答え

x = 55.17 m

6.放物運動

答え: α = 75.98 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 10·cos 30° = 8.66 m/s

v_y0 = 10·sin 30° = 5 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(5² + 2·9.81·60) = 34.67 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 34.67/8.66 → α = 75.98°

答え

α = 75.98°

7.仕事とエネルギー

答え: h = 0.2936 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

ばねのエネルギー

x = 6 cm = 0.06 m

½kx² = ½·400·0.06² = 0.72 J

高さ

m·g = 0.25·9.81 = 2.453 N

h = ½kx²/(mg) = 0.72/2.453 = 0.2936 m

答え

h = 0.2936 m

8.仕事とエネルギー

答え: x = 18.26 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(2.5 − 0.2·4) = 16.68 J

最大縮み

½kx² = 16.68 → x = √(2·16.68/1000) = 0.1826 m = 18.26 cm

答え

x = 18.26 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 1358 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.24) = 2.17 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.008 + 5)·2.17/0.008 = 1358 m/s

答え

v = 1358 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 188.8 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.9·(1 − cos 25°) = 0.178 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.178) = 1.869 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.02·1.869/0.02 = 188.8 m/s

答え

v = 188.8 m/s

11.静水圧

答え: F = 39.24 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·2 = 39.24 kN

答え

F = 39.24 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 4.373 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2.5/2 = 4.25 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4.25·7.5 = 320.5 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 4.25 + 3.906/(4.25·7.5) = 4.373 m

答え

y_cp = 4.373 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 387.2 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(75/40)² = 5.273 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 5.273²)/1000 = −12.78 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 400 + (−12.78) = 387.2 kPa

答え

p₂ = 387.2 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 249.8 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.5·(150/75)² = 2 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.5² − 2²)/1000 = −1.875 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 340 + (−1.875) − 88.29 = 249.8 kPa

答え

p₂ = 249.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 2820 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 490/16.04 = 30.55 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

圧力

P = nRT/V = 30.55·8.314·333.1/0.03 = 2820 kPa

答え

P = 2820 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 6.855 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 120 + 273.15 = 393.1 K

密度

ρ = 800·28.01/(8.314·393.1) = 6.855 kg/m³

答え

ρ = 6.855 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1033 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 35 + 273.15 = 308.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 308.1/723.1 = 57.39 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5739·1800 = 1033 kJ

答え

W_max = 1033 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 13.42

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

答え

COP_max = 13.42

19.波・音・光学

答え: d_i = 16.67 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/25

d_i = 16.67 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 16.67 cm

20.波・音・光学

答え: w = 31.65 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

最初の暗線

y₁ = λL/a = 633 × 10⁻⁹·2.5/(0.1 × 10⁻³) = 15.82 mm

中央の極大の幅

w = 2y₁ = 31.65 mm

答え

w = 31.65 mm

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