基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 28 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4.5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 28 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 16 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 16 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 16 kg のブロックが、水平と 30° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 16 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 6 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 6 kgμ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 40°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 35° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。斜面に沿って 15 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 35°μ = 0.15d = 15 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 3 mL = 5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 5 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 3 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 3 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 3 kgh = 3 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 25 m/s で走る質量 2000 kg の自動車が、北向きに 14 m/s で走る質量 1200 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 2000 kgv₁ = 25 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 14 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 3 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 80 mm、のど部径 40 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 36 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmp₁ − p₂ = 36 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 50 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 210 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 210 kPav₁ = 2 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

600 kPa、55 °C において、CO₂ 450 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 450 gM = 44.01 g/molP = 600 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 200 kPa、5 L、15 °C から 500 kPa、170 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 200 kPaV₁ = 5 LT₁ = 15 °CP₂ = 500 kPaT₂ = 170 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 10 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -10 °C に保ち、20 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -10 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 10 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、35 °C のキッチンで冷蔵室を -20 °C に保ち、冷蔵室から 3.5 kW の熱を取り除く。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 35 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 3.5 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 1000 Hz の音源に向かって 5 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1000 Hzv = 343 m/sv_o = 5 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

静止しているセンサーが、15 m/s で遠ざかる車に向けて 30 kHz の超音波を送り、エコーを発した信号と混合します。うなりの振動数 f_b を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 30 kHzu = 15 m/sv = 343 m/s

f_b = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 348.4 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·28/4.5 = 12.44 s

距離

d = v·t = 28·12.44 = 348.4 m

答え

d = 348.4 m

その瞬間、パトカーは 2v = 56 m/s で走っています。

2.運動学

答え: h_max = 28.05 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 16²/(2·9.81) = 13.05 m

地面からの高さ

h_max = 15 + 13.05 = 28.05 m

答え

h_max = 28.05 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.905 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0) = 4.905 m/s²

答え

a = 4.905 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.679 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (58.86 − 14.71)/12 = 3.679 m/s²

答え

a = 3.679 m/s²

5.放物運動

答え: t = 2.097 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 40° = 12.26 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 40° = 10.28 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·10.28/9.81 = 2.097 s

答え

t = 2.097 s

6.放物運動

答え: x = 92.12 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 40° = 20.68 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 40° = 17.36 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 17.36·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.36 + √(301.2 + 392.4))/9.81 = 4.454 s

水平距離

x = v_x·t = 20.68·4.454 = 92.12 m

答え

x = 92.12 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 11.52 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·15·(0.5736 − 0.15·0.8192)) = 11.52 m/s

答え

v = 11.52 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: x = 13.1 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(3 − 0.25·5) = 17.17 J

最大縮み

½kx² = 17.17 → x = √(2·17.17/2000) = 0.131 m = 13.1 cm

答え

x = 13.1 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 461.1 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.03) = 0.7672 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.005 + 3)·0.7672/0.005 = 461.1 m/s

答え

v = 461.1 m/s

10.運動量と衝突

答え: v′ = 16.48 m/s

運動量の成分

p_x = 2000·25 = 50000 kg·m/s

p_y = 1200·14 = 16800 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 52747/3200 = 16.48 m/s

答え

v′ = 16.48 m/s

11.静水圧

答え: F = 22.07 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1.5 = 22.07 kN

答え

F = 22.07 kN

12.静水圧

答え: F = 316.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 3/2 = 3.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·9 = 316.7 kN

答え

F = 316.7 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 11.01 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(40/80)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·36000/(1000·(1 − 0.0625))) = 8.764 m/s

v₁ = 2.191 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001257·8.764 = 0.01101 m³/s = 11.01 L/s

答え

Q = 11.01 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 113.6 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(75/50)² = 4.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 4.5²)/1000 = −8.125 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 210 + (−8.125) − 88.29 = 113.6 kPa

答え

p₂ = 113.6 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 46.49 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 450/44.01 = 10.22 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体積

V = nRT/P = 10.22·8.314·328.1/600 = 46.49 L

答え

V = 46.49 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 3.076 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 288.1 K, T₂ = 443.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(200/500)·(443.1/288.1) = 3.076 L

答え

V₂ = 3.076 L

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 11.14 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 10·293.1/263.1 = 11.14 kW

答え

Q̇_H = 11.14 kW

入力動力：Ẇ = 1.14 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 4.603

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(308.1 − 253.1) = 4.603

答え

COP_max = 4.603

19.波・音・光学

答え: f′ = 1015 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1000·(343 + 5)/(343 − 0)

f′ = 1015 Hz

答え

f′ = 1015 Hz

20.波・音・光学

答え: f_b = 2514 Hz

車での振動数

f′ = 30000·(343 − 15)/343 = 28688 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 + 15) = 27486 Hz

うなりの振動数

f_b = |f″ − f| = 2514 Hz

答え

f_b = 2514 Hz

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