基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 80 km/ha = −7 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

地面から高さ 30 m の屋上の端から、ボールを 19 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 19 m/sh₀ = 30 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 40° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

30° の斜面上にある質量 8.5 kg のブロックが、斜面の上端にある摩擦のない滑車を通る軽い糸で、つり下げられた質量 9 kg のおもりにつながれている。つり下げられたおもりは下向きに動く。斜面には摩擦がない。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8.5 kgm₂ = 9 kgθ = 30°μ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 22 m/s で打ち出し、25 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 22 m/sR = 25 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 40 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 27 m/sθ = 35°h = 40 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 5 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 5 kgθ = 25°μ = 0.1d = 5 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 3 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.3）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 800 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 3 mL = 4 mμ = 0.3k = 800 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

質量 15 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 21 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 15 gM = 4.5 kgh = 21 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、8 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 11 m/sv_out = 8 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 270 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、75 mm から 40 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 170 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 170 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 10 L のタンクに、温度 85 °C のCH₄が 290 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 290 gM = 16.04 g/molV = 10 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のO₂が 350 kPa、10 L、35 °C から 300 kPa、200 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 350 kPaV₁ = 10 LT₁ = 35 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 200 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 9.5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -10 °C に保ち、40 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -10 °CT_H = 40 °CQ̇_L = 9.5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 850 °C の熱源から 110 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は -15 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 850 °CT₀ = 20 °CT_L = -15 °CQ̇_H = 110 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 1200 Hz の音源に向かって 15 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 1200 Hzv = 343 m/sv_o = 15 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、1 ミリメートルあたり 400 本の線をもつ回折格子に直角に当たります。次数 3 の極大の角度 θ₃ を求めてください。

N = 400 mm⁻¹λ = 589 nmm = 3

θ₃ = °

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.175 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 22.22/7 = 3.175 s

答え

t = 3.175 s

2.運動学

答え: h_max = 48.4 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 19²/(2·9.81) = 18.4 m

地面からの高さ

h_max = 30 + 18.4 = 48.4 m

答え

h_max = 48.4 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.306 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答え

a = 6.306 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 64.33 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

糸に沿った力

m₂·g = 88.29 N

m₁·g·sin θ = 41.69 N

μ·m₁·g·cos θ = 0 N

系の加速度

a = (88.29 − 41.69 − 0)/17.5 = 2.663 m/s²

つり下げられたおもりから求める張力

m₂·g − T = m₂·a → T = 9·(9.81 − 2.663) = 64.33 N

答え

T = 64.33 N

5.放物運動

答え: θ = 15.22 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·25/22² = 0.5067

位相角

2θ = 30.45° → θ = 15.22°

答え

θ = 15.22°

もう 1 つの解は 90° − θ = 74.78° です。

6.放物運動

答え: x = 107.1 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 27·cos 35° = 22.12 m/s

v_y = v₀·sin θ = 27·sin 35° = 15.49 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 40 + 15.49·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (15.49 + √(239.8 + 784.8))/9.81 = 4.842 s

水平距離

x = v_x·t = 22.12·4.842 = 107.1 m

答え

x = 107.1 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 22.23 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.9063 = 44.45 N

F = μN = 0.1·44.45 = 4.445 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 4.445·5 = 22.23 J

答え

W_f = 22.23 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 21.01 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(3 − 0.3·4) = 17.66 J

最大縮み

½kx² = 17.66 → x = √(2·17.66/800) = 0.2101 m = 21.01 cm

答え

x = 21.01 cm

9.運動量と衝突

答え: v = 611 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.21) = 2.03 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.015 + 4.5)·2.03/0.015 = 611 m/s

答え

v = 611 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 237.5 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(8 + 11) = 4.75 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 4.75/0.02 = 237.5 N

答え

F_avg = 237.5 N

11.静水圧

答え: F = 55.18 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·2.5 = 55.18 kN

答え

F = 55.18 kN

12.静水圧

答え: F = 160.9 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·4·4 = 160.9 kN

答え

F = 160.9 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 258.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/50)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−11.72) = 258.3 kPa

答え

p₂ = 258.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 48.57 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(75/40)² = 9.668 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 9.668²)/1000 = −42.95 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 170 + (−42.95) − 78.48 = 48.57 kPa

答え

p₂ = 48.57 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 5384 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 290/16.04 = 18.08 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

圧力

P = nRT/V = 18.08·8.314·358.1/0.01 = 5384 kPa

答え

P = 5384 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 17.91 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 308.1 K, T₂ = 473.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(350/300)·(473.1/308.1) = 17.91 L

答え

V₂ = 17.91 L

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 11.31 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 40 + 273.15 = 313.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 9.5·313.1/263.1 = 11.31 kW

答え

Q̇_H = 11.31 kW

入力動力：Ẇ = 1.805 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 599.6 kW

絶対温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -15 + 273.15 = 258.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/1123 = 0.739

Ẇ = 0.739·110 = 81.29 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 258.1/(293.1 − 258.1) = 7.376

Q̇_L = 7.376·81.29 = 599.6 kW

答え

Q̇_L = 599.6 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 1252 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v + v_o)/(v − v_s) = 1200·(343 + 15)/(343 − 0)

f′ = 1252 Hz

答え

f′ = 1252 Hz

20.波・音・光学

答え: θ₃ = 44.98 °

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/400 mm = 2.5 × 10⁻⁶ m

回折格子の式

sin θ = mλ/d = 3·589 × 10⁻⁹/(2.5 × 10⁻⁶) = 0.7068

θ = 44.98°

答え

θ₃ = 44.98°

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