基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 5 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −5 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.8 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.8 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 20°μ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 140 N が前の 9 kg のブロックを引き、10 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。ブロックの加速度 a を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 9 kgF = 140 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 28 m/s で打ち出し、65 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 28 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 20 m のがけの上から、ボールを 16 m/s、水平から 55° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールは水平から下向きにどの角度 α で地面に当たるか。

v₀ = 16 m/sθ = 55°h = 20 mg = 9.81 m/s²

α = °

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 40° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。斜面に沿って 6 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 40°μ = 0.35d = 6 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

20° の斜面の下端にあるばね定数 3000 N/m のばねを、質量 1 kg のブロックに押し当てて 12 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 1 kgk = 3000 N/mx = 12 cmθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

7 m/s で動いている質量 1000 kg の自動車が、静止している質量 800 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1000 kgv₁ = 7 m/sm₂ = 800 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 11 m/s で壁に当たり、5 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 11 m/sv_out = 5 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 180 kPa、流速は 2.5 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 40 mmp₁ = 180 kPav₁ = 2.5 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 10 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 400 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 400 kPav₁ = 1.25 m/sΔz = 10 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

750 kPa、90 °C において、He 280 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 280 gM = 4.003 g/molP = 750 kPaT = 90 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

900 kPa、130 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 900 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 725 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1400 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 725 °CT_L = 30 °CQ_H = 1400 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 -10 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 12 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = -10 °CQ̇_H = 12 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

小さな音源が、あらゆる方向に均等に音を出します。音源から 10 m の距離でのレベルは 70 dB です。吸収と反射を無視して、80 m の距離でのレベル β₂ を求めてください。

β₁ = 70 dBr₁ = 10 mr₂ = 80 m

β₂ = dB

20.波・音・光学むずかしい

1 ミリメートルあたり 300 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 1 の極大が、直進方向から 8.4° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 300 mm⁻¹θ₁ = 8.4°m = 1

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: t = 3 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 15/5 = 3 s

答え

t = 3 s

2.運動学

答え: d = 64.04 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.8 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1303 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1303))/(2·4.905) = 3.613 s

深さ

d = ½·9.81·3.613² = 64.04 m

答え

d = 64.04 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.433 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.1·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.09397) = 2.433 m/s²

答え

a = 2.433 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 6.387 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 18.64)/19 = 6.387 m/s²

答え

a = 6.387 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 27.21 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/28² = 0.8133

位相角

2θ = 54.42° → θ = 27.21°

答え

θ = 27.21°

もう 1 つの解は 90° − θ = 62.79° です。

6.放物運動

答え: α = 68.87 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 16·cos 55° = 9.177 m/s

v_y0 = 16·sin 55° = 13.11 m/s

衝突時の鉛直方向の速さ

エネルギー、または鉛直方向の v² = v₀² + 2as。

v_y = √(13.11² + 2·9.81·20) = 23.75 m/s

衝突角

tan α = v_y/v_x = 23.75/9.177 → α = 68.87°

答え

α = 68.87°

7.仕事とエネルギー

答え: v = 6.641 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·6·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 6.641 m/s

答え

v = 6.641 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: d = 3.816 m

ばねのエネルギー

x = 12 cm = 0.12 m

½kx² = ½·3000·0.12² = 21.6 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 21.6/(9.81·(0.342 + 0.25·0.9397)) = 3.816 m

答え

d = 3.816 m

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 10889 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1000·7/1800 = 3.889 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1000·7² = 24500 J

K_after = ½·1800·3.889² = 13611 J

失われたエネルギー

ΔK = 24500 − 13611 = 10889 J

答え

ΔK = 10889 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 480 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(5 + 11) = 4.8 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 4.8/0.01 = 480 N

答え

F_avg = 480 N

11.静水圧

答え: F = 397.3 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·3 = 9 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·9 = 397.3 kN

答え

F = 397.3 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.028 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·3 = 88.29 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·1³/12 = 0.25 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3 + 0.25/(3·3) = 3.028 m

答え

y_cp = 3.028 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 144.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.5·(75/40)² = 8.789 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.5² − 8.789²)/1000 = −35.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 180 + (−35.5) = 144.5 kPa

答え

p₂ = 144.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 300.2 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/75)² = 2.222 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 2.222²)/1000 = −1.688 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·10/1000 = 98.1 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 400 + (−1.688) − 98.1 = 300.2 kPa

答え

p₂ = 300.2 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 281.6 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 280/4.003 = 69.95 mol

T = 90 + 273.15 = 363.1 K

体積

V = nRT/P = 69.95·8.314·363.1/750 = 281.6 L

答え

V = 281.6 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 11.82 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 900·44.01/(8.314·403.1) = 11.82 kg/m³

答え

ρ = 11.82 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 974.8 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 725 + 273.15 = 998.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/998.1 = 69.63 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6963·1400 = 974.8 kJ

答え

W_max = 974.8 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 9.772

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 263.1) = 9.772

答え

COP_max = 9.772

19.波・音・光学

答え: β₂ = 51.94 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さの比

I₂/I₁ = (10/80)² = 0.01563

新しいレベル

β₂ = 70 + 10·log₁₀(0.01563) = 51.94 dB

答え

β₂ = 51.94 dB

距離が 2 倍になるごとに、レベルはおよそ 6 dB 下がります。

20.波・音・光学

答え: λ = 486.9 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 3.333 × 10⁻⁶·sin 8.4°/1 = 486.9 nm

答え

λ = 486.9 nm

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