基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

108 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 108 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 8 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 8 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 18 kg のブロックが、水平と 45° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 18 kgθ = 45°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 30 N が前の 5 kg のブロックを引き、11 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.1 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 11 kgm₂ = 5 kgF = 30 Nμ = 0.1g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 25° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 14 m/sθ = 25°g = 9.81 m/s²

x = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 34 m/s、水平から 55° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 18 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 34 m/sθ = 55°h_roof = 18 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 19 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 5 kgθ = 40°μ = 0.2d = 19 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 1 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 4.5 mL = 1 mμ = 0.1k = 500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.6 kg のボールが 24 m/s で壁に当たり、10 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.6 kgv_in = 24 m/sv_out = 10 m/sΔt = 5 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 11 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 11 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 20 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 2.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を求めよ。

d = 20 mmz_C = +2.5 mz₂ = −1 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

100 kPa、50 °C において、CO₂ 110 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 110 gM = 44.01 g/molP = 100 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 200 kPa、2 L、20 °C から 350 kPa、60 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 200 kPaV₁ = 2 LT₁ = 20 °CP₂ = 350 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 225 °C の熱源から 2000 kJ の熱を受け取り、1338 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 225 °CQ_H = 2000 kJQ_L = 1338 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが、外気 0 °C のときに家を 20 °C に保ち、家に 15 kW の熱を供給する。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 20 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 15 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

光がダイヤモンド（n = 2.42）の中を、クラウンガラス（n = 1.50）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 2.42n₂ = 1.50

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

波長 589 nm の光が、0.15 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2 m 先にあります。中央の明線から 2 番目の明線までの距離 y₂ を求めてください。

λ = 589 nmd = 0.15 mmL = 2 mm = 2

y₂ = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 75 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 108/3.6 = 30 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 30²/(2·6) = 75 m

答え

s = 75 m

2.運動学

答え: t = 2.993 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 8·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 8·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (8 + √(8² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.993 s

答え

t = 2.993 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 5.203 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0.25·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0.1768) = 5.203 m/s²

答え

a = 5.203 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 20.63 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 15.7)/16 = 0.894 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 11·(0.894 + 0.981) = 20.63 N

答え

T = 20.63 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: x = 15.31 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 14·cos 25° = 12.69 m/s

v_y = v₀·sin θ = 14·sin 25° = 5.917 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·5.917/9.81 = 1.206 s

水平距離

x = v_x·t = 12.69·1.206 = 15.31 m

答え

x = 15.31 m

6.放物運動

答え: x = 96.23 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 19.5 m/s, v_y = 27.85 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

18 = 27.85·t − 4.905·t²

t = (27.85 + √(27.85² − 2·9.81·18))/9.81 = 4.934 s

水平距離

x = v_x·t = 19.5·4.934 = 96.23 m

答え

x = 96.23 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 142.8 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.766 = 37.57 N

F = μN = 0.2·37.57 = 7.515 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 7.515·19 = 142.8 J

答え

W_f = 142.8 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 65.7 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(4.5 − 0.1·1) = 107.9 J

最大縮み

½kx² = 107.9 → x = √(2·107.9/500) = 0.657 m = 65.7 cm

答え

x = 65.7 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 5.556 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (5 − 4)/(5 + 4)·5 = 0.5556 m/s

v′₂ = 2·5/(5 + 4)·5 = 5.556 m/s

答え

v′₂ = 5.556 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 20.4 N·s

運動量の変化

J = m·Δv = 0.6·(10 + 24) = 20.4 N·s

答え

J = 20.4 N·s

11.静水圧

答え: F = 110.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 3/2 = 2.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·4.5 = 110.4 kN

答え

F = 110.4 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.481 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·3.75 = 82.77 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1.5·2.5³/12 = 1.953 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 2.25 + 1.953/(2.25·3.75) = 2.481 m

答え

y_cp = 2.481 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 4.69 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·11000/1000) = 4.69 m/s

答え

v = 4.69 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 1.392 L/s

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·1) = √(2·9.81·1) = 4.429 m/s

流量

Q = A·v = 0.0003142·4.429 = 0.001392 m³/s = 1.392 L/s

答え

Q = 1.392 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 67.15 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 110/44.01 = 2.499 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体積

V = nRT/P = 2.499·8.314·323.1/100 = 67.15 L

答え

V = 67.15 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 1.299 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 333.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(200/350)·(333.1/293.1) = 1.299 L

答え

V₂ = 1.299 L

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 60.11 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 225 + 273.15 = 498.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 498.1·1338/2000 = 333.3 K = 60.11 °C

答え

T_L = 60.11 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 14.66

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

可能な最良の COP

COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L) = 293.1/(293.1 − 273.1) = 14.66

答え

COP_max = 14.66

19.波・音・光学

答え: θ_c = 38.3 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.50/2.42 = 0.6198

臨界角

θc = arcsin(0.6198) = 38.3°

答え

θ_c = 38.3°

20.波・音・光学

答え: y₂ = 15.71 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 589 × 10⁻⁹·2/(0.15 × 10⁻³) = 7.853 mm

2 番目の縞

y₂ = 2·7.853 = 15.71 mm

答え

y₂ = 15.71 mm

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