基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている車が、一定の減速度 5.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 80 km/ha = −5.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 15 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 15 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 1.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 1.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 60° 上向きに打ち出すと、55 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 60°R = 55 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 55 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 55 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1 kg の小球が長さ 3 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 30° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 1 kgL = 3 mθ = 30°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.25）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 10 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.25k = 2000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、7 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 2.5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2.5 kgv₁ = 7 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 15 m/s で走る質量 1200 kg の自動車が、北向きに 14 m/s で走る質量 1100 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の向き θ を、東から北向きに測って求めよ。

m₁ = 1200 kgv₁ = 15 m/s (E)m₂ = 1100 kgv₂ = 14 m/s (N)

θ = °

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 12 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 12 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 50 mm、ゲージ圧は 120 kPa である。ノズル出口の直径は 20 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 50 mmp₁ = 120 kPa (ゲージ圧)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 60 °C のN₂が 160 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 160 gM = 28.01 g/molV = 20 LT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 250 kPa、5 L、20 °C から 300 kPa、120 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 250 kPaV₁ = 5 LT₁ = 20 °CP₂ = 300 kPaT₂ = 120 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 5 kW の熱を取り除いて冷蔵室を -30 °C に保ち、20 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = -30 °CT_H = 20 °CQ̇_L = 5 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 0 °C の熱源から熱をくみ上げ、22 °C の暖房システムに 5 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 35% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 0 °Cη_II = 35%Q̇_H = 5 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が固定された弦は、200 m/s で波が伝わる中で、第 4 倍音が 333 Hz になる必要があります。その長さ L を求めてください。

v = 200 m/sn = 4f₄ = 333 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 20 cm の凹面鏡の 12 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 12 cmR = 20 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 44.89 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·5.5) = 44.89 m

答え

s = 44.89 m

2.運動学

答え: t = 4.256 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−25 = 15·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 15·t − 25 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (15 + √(15² + 2·9.81·25))/9.81 = 4.256 s

答え

t = 4.256 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 13.39 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (14.71 − 10.3)/5 = 0.8829 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 3.5·0.8829 + 10.3 = 13.39 N

答え

T = 13.39 N

5.放物運動

答え: v₀ = 24.96 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·55/sin 120°) = 24.96 m/s

答え

v₀ = 24.96 m/s

6.放物運動

答え: t = 6.048 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24.51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20.57 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 55 + 20.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.57 + √(423.1 + 1079))/9.81 = 6.048 s

答え

t = 6.048 s

7.仕事とエネルギー

答え: T = 12.44 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 30°) = 7.886 m²/s²

最下点での力

m·g = 1·9.81 = 9.81 N

T = mg + mv²/L = 9.81 + 1·7.886/3 = 12.44 N

答え

T = 12.44 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 12.44 N。

8.仕事とエネルギー

答え: x = 33.22 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 98.1·(2 − 0.25·3.5) = 110.4 J

最大縮み

½kx² = 110.4 → x = √(2·110.4/2000) = 0.3322 m = 33.22 cm

答え

x = 33.22 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.167 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 2.5)/(3.5 + 2.5)·7 = 1.167 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 2.5)·7 = 8.167 m/s

答え

v′₂ = 8.167 m/s

10.運動量と衝突

答え: θ = 40.55 °

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 1200·15 = 18000 kg·m/s

p_y = 1100·14 = 15400 kg·m/s

向き

tan θ = p_y/p_x = 0.8556 → θ = 40.55°

答え

θ = 40.55°

11.静水圧

答え: F = 103 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·3 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.5·3 = 103 kN

答え

F = 103 kN

12.静水圧

答え: F = 70.39 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·2 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.5·2 = 70.39 kN

答え

F = 70.39 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 4.899 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·12000/1000) = 4.899 m/s

答え

v = 4.899 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 12.55 m

出口流速

β = 20/50 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·120000/(1000·0.9744)) = 15.69 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 15.69²/(2·9.81) = 12.55 m

答え

H = 12.55 m

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 791.1 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 160/28.01 = 5.712 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

圧力

P = nRT/V = 5.712·8.314·333.1/0.02 = 791.1 kPa

答え

P = 791.1 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 5.588 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 293.1 K, T₂ = 393.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 5·(250/300)·(393.1/293.1) = 5.588 L

答え

V₂ = 5.588 L

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 6.028 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = -30 + 273.15 = 243.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 5·293.1/243.1 = 6.028 kW

答え

Q̇_H = 6.028 kW

入力動力：Ẇ = 1.028 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 1.065 kW

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 273.1) = 13.42

COP = 0.35·13.42 = 4.696

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 5/4.696 = 1.065 kW

答え

Ẇ = 1.065 kW

19.波・音・光学

答え: L = 1.201 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 200/333 = 0.6006 m

長さ

L = nλ/2 = 4·0.6006/2 = 1.201 m

答え

L = 1.201 m

20.波・音・光学

答え: d_i = 60 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 10 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/10 − 1/12

d_i = 60 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 60 cm

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