基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

80 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 80 km/ha = −4 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 17 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 17 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 12 kg のブロックが、水平と 35° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 12 kgθ = 35°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 10 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 4 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 4 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを水平から 25° 上向きに打ち出すと、115 m 先に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。打ち出した速さ v₀ を求めよ。

θ = 25°R = 115 mg = 9.81 m/s²

v₀ = m/s

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 31 m/s、水平から 70° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 13 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 70°h_roof = 13 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg の小球が長さ 3 m の軽い糸につり下げられている。糸が鉛直と 50° をなすまで横に引き、静かに放す。小球が最下点を通過するときの糸の張力 T を求めよ。

m = 10 kgL = 3 mθ = 50°g = 9.81 m/s²

T = N

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4 m から静かに放す。下で長さ 3 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ブロックがばねに達したときの速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 4 mL = 3 mμ = 0.1k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 12 g の弾丸を、長さ 0.7 m の軽い糸でつり下げた質量 2.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 40° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 2.5 kgL = 0.7 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 2 mb = 3 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 3 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 24 L/s で、100 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 110 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 24 L/sd₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₂ = 110 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 40 kPa の圧縮空気がある。水面より 3.5 m 下にある直径 50 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ流量 Q。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 40 kPa (ゲージ圧)h = 3.5 md = 50 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 20 L のタンクに、温度 80 °C のCO₂が 10 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 10 gM = 44.01 g/molV = 20 LT = 80 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCO₂が 100 kPa、10 L、40 °C から 650 kPa、250 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 100 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 650 kPaT₂ = 250 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 675 °C の高温熱源と 30 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 4700 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 675 °CT_L = 30 °CQ_H = 4700 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 650 °C の熱源から 10 kW の熱を受け取り、27 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は 0 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 27 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 650 °CT₀ = 27 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 10 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 15 cm の薄い収束レンズの 6 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 6 cmf = 15 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

1 ミリメートルあたり 800 本の線をもつ回折格子で、あるスペクトル線の次数 1 の極大が、直進方向から 23.6° の位置に見えます。そのスペクトル線の波長 λ を求めてください。

N = 800 mm⁻¹θ₁ = 23.6°m = 1

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: s = 61.73 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 80/3.6 = 22.22 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 22.22²/(2·4) = 61.73 m

答え

s = 61.73 m

2.運動学

答え: h_max = 34.73 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 17²/(2·9.81) = 14.73 m

地面からの高さ

h_max = 20 + 14.73 = 34.73 m

答え

h_max = 34.73 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 3.618 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 35° − 0.25·cos 35°) = 9.81·(0.5736 − 0.2048) = 3.618 m/s²

答え

a = 3.618 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 1.401 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (39.24 − 19.62)/14 = 1.401 m/s²

答え

a = 1.401 m/s²

5.放物運動

答え: v₀ = 38.38 m/s

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式を v₀ について解く

v₀ = √(g·R/sin 2θ) = √(9.81·115/sin 50°) = 38.38 m/s

答え

v₀ = 38.38 m/s

6.放物運動

答え: x = 57.81 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 10.6 m/s, v_y = 29.13 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

13 = 29.13·t − 4.905·t²

t = (29.13 + √(29.13² − 2·9.81·13))/9.81 = 5.453 s

水平距離

x = v_x·t = 10.6·5.453 = 57.81 m

答え

x = 57.81 m

7.仕事とエネルギー

答え: T = 168.2 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最下点での速さ

v² = 2gL(1 − cos θ) = 2·9.81·3·(1 − cos 50°) = 21.03 m²/s²

最下点での力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

T = mg + mv²/L = 98.1 + 10·21.03/3 = 168.2 N

答え

T = 168.2 N

確認：T = mg(3 − 2cos θ) = 168.2 N。

8.仕事とエネルギー

答え: v = 8.52 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 49.05·(4 − 0.1·3) = 181.5 J

ばねに達したときの速さ

½mv² = mg(h − μL) → v = √(2g(h − μL)) = √(2·9.81·3.7) = 8.52 m/s

答え

v = 8.52 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 4.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·5 = −0.3333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·5 = 4.667 m/s

答え

v′₂ = 4.667 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 375.2 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 0.7·(1 − cos 40°) = 0.1638 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.1638) = 1.793 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.512·1.793/0.012 = 375.2 m/s

答え

v = 375.2 m/s

11.静水圧

答え: F = 235.4 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 2/2 = 4 m

A = H·b = 2·3 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4·6 = 235.4 kN

答え

F = 235.4 kN

12.静水圧

答え: F = 181 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 3/2 = 3 m

A = H·b = 3·2 = 6 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·6 = 181 kN

答え

F = 181 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 120.1 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.024/0.007854 = 3.056 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.024/0.004418 = 5.432 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 110 + ½·1000·(5.432² − 3.056²)/1000 = 110 + 10.09 = 120.1 kPa

答え

p₁ = 120.1 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 23.94 L/s

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(40000/1000 + 9.81·3.5)) = 12.19 m/s

流量

Q = A·v = 0.001963·12.19 = 0.02394 m³/s = 23.94 L/s

答え

Q = 23.94 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 33.36 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 10/44.01 = 0.2272 mol

T = 80 + 273.15 = 353.1 K

圧力

P = nRT/V = 0.2272·8.314·353.1/0.02 = 33.36 kPa

答え

P = 33.36 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 2.57 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 523.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(100/650)·(523.1/313.1) = 2.57 L

答え

V₂ = 2.57 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 3197 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 303.1/948.1 = 68.03 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6803·4700 = 3197 kJ

答え

W_max = 3197 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 68.27 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T₀ = 27 + 273.15 = 300.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

機関の仕事

η = 1 − 300.1/923.1 = 0.6749

Ẇ = 0.6749·10 = 6.749 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 273.1/(300.1 − 273.1) = 10.12

Q̇_L = 10.12·6.749 = 68.27 kW

答え

Q̇_L = 68.27 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = −10 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/6

d_i = −10 cm

光線図

虚像、物体と同じ側

答え

d_i = −10 cm

20.波・音・光学

答え: λ = 500.4 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = d·sin θ/m = 1.25 × 10⁻⁶·sin 23.6°/1 = 500.4 nm

答え

λ = 500.4 nm

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