基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

120 km/h で走っている車が、一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 120 km/ha = −6 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 15 m の屋上の端から、ボールを 13 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 13 m/sh₀ = 15 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 6 kg のブロックが、水平と 25° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 6 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 10 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 10 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 25 m の崖の上から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 32 m/sθ = 40°h = 25 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 45° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。斜面に沿って 12 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 45°μ = 0.25d = 12 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg の台車が、半径 2.5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 7 m から静かに放される。ループの最高点で軌道が台車に及ぼす垂直抗力 N を求めよ。

m = 0.5 kgh = 7 mR = 2.5 mg = 9.81 m/s²

N = N

9.運動量と衝突ふつう

10 m/s で動いている質量 1700 kg の自動車が、静止している質量 1500 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 1700 kgv₁ = 10 m/sm₂ = 1500 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 19 m/s で壁に当たり、15 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 19 m/sv_out = 15 m/sΔt = 10 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 2.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 150 mm、のど部径 75 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 6 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₁ − p₂ = 6 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

噴水のノズルが真上を向いている。ノズルのすぐ下で、供給管の直径は 50 mm、ゲージ圧は 60 kPa である。ノズル出口の直径は 20 mm で、ノズル前後の高さの差は無視できる。損失と空気抵抗を無視して、噴流がノズルより上に達する高さ H を求めよ。g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 50 mmp₁ = 60 kPa (ゲージ圧)d₂ = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

H = m

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 85 °C のCO₂が 70 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 70 gM = 44.01 g/molV = 5 LT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のCH₄が 150 kPa、10 L、30 °C から 150 kPa、190 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 150 kPaV₁ = 10 LT₁ = 30 °CP₂ = 150 kPaT₂ = 190 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 450 °C の高温熱源と 25 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1100 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 450 °CT_L = 25 °CQ_H = 1100 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、28 °C のキッチンで冷蔵室を 2 °C に保ち、冷蔵室から 0.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 28 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 0.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 1.2 m です。音速は 343 m/s です。その基本振動（第 1 倍音）の振動数 f₁ を求めてください。

v = 343 m/sn = 1L = 1.2 m

f₁ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

0.2 mm 離れた 2 本のスリットに単色光を当てます。1.2 m 先のスクリーンで、3 番目の明線は中央の縞から 11.7 mm の位置にあります。波長 λ を求めてください。

d = 0.2 mmL = 1.2 my₃ = 11.7 mmm = 3

λ = nm

3溶液

1.運動学

答え: s = 92.59 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 120/3.6 = 33.33 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 33.33²/(2·6) = 92.59 m

答え

s = 92.59 m

2.運動学

答え: h_max = 23.61 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 13²/(2·9.81) = 8.614 m

地面からの高さ

h_max = 15 + 8.614 = 23.61 m

答え

h_max = 23.61 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.923 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 25° − 0.25·cos 25°) = 9.81·(0.4226 − 0.2266) = 1.923 m/s²

答え

a = 1.923 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 16.35 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/12 = 1.635 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 10·1.635 + 0 = 16.35 N

答え

T = 16.35 N

5.放物運動

答え: H = 18.95 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 30·cos 40° = 22.98 m/s

v_y = v₀·sin θ = 30·sin 40° = 19.28 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 19.28²/(2·9.81) = 18.95 m

答え

H = 18.95 m

6.放物運動

答え: x = 126.9 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 32·cos 40° = 24.51 m/s

v_y = v₀·sin θ = 32·sin 40° = 20.57 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 25 + 20.57·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (20.57 + √(423.1 + 490.5))/9.81 = 5.178 s

水平距離

x = v_x·t = 24.51·5.178 = 126.9 m

答え

x = 126.9 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 11.17 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·12·(0.7071 − 0.25·0.7071)) = 11.17 m/s

答え

v = 11.17 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: N = 2.943 N

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(7 − 5) = 39.24 m²/s²

最高点での力

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

N = mv²/R − mg = 0.5·39.24/2.5 − 4.905 = 2.943 N

答え

N = 2.943 N

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 39844 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 1700·10/3200 = 5.313 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·1700·10² = 85000 J

K_after = ½·3200·5.313² = 45156 J

失われたエネルギー

ΔK = 85000 − 45156 = 39844 J

答え

ΔK = 39844 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: J = 10.2 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(15 + 19) = 10.2 N·s

答え

J = 10.2 N·s

11.静水圧

答え: F = 14.71 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 1/2 = 1 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1·1.5 = 14.71 kN

答え

F = 14.71 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 3.308 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.25·1.5 = 60.26 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·1.5³/12 = 0.2813 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 3.25 + 0.2813/(3.25·1.5) = 3.308 m

答え

y_cp = 3.308 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 15.81 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(75/150)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·6000/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.578 m/s

v₁ = 0.8944 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.004418·3.578 = 0.01581 m³/s = 15.81 L/s

答え

Q = 15.81 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: H = 6.277 m

出口流速

β = 20/50 = 0.4

v₂ = √(2p₁/(ρ(1 − β⁴))) = √(2·60000/(1000·0.9744)) = 11.1 m/s

噴流の高さ

噴流に沿ったベルヌーイの式：最高点では流速は 0 で、圧力は再び大気圧です。

H = v₂²/(2g) = 11.1²/(2·9.81) = 6.277 m

答え

H = 6.277 m

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 947.2 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 70/44.01 = 1.591 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

圧力

P = nRT/V = 1.591·8.314·358.1/0.005 = 947.2 kPa

答え

P = 947.2 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 15.28 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 303.1 K, T₂ = 463.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(150/150)·(463.1/303.1) = 15.28 L

答え

V₂ = 15.28 L

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 646.5 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 450 + 273.15 = 723.1 K

T_L = 25 + 273.15 = 298.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 298.1/723.1 = 58.77 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.5877·1100 = 646.5 kJ

答え

W_max = 646.5 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.04725 kW

絶対温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(301.1 − 275.1) = 10.58

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0.5/10.58 = 0.04725 kW

答え

Ẇ_min = 0.04725 kW

19.波・音・光学

答え: f₁ = 142.9 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·1.2/1 = 2.4 m

振動数

f = v/λ = 343/2.4 = 142.9 Hz

答え

f₁ = 142.9 Hz

20.波・音・光学

答え: λ = 650 nm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

波長

λ = y·d/(mL) = 0.0117·0.0002/(3·1.2) = 6.5 × 10⁻⁷ m = 650 nm

答え

λ = 650 nm

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