基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 4 m/s² でブレーキをかけて停止する。ブレーキをかけてから停止するまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −4 m/s²v = 0

t = s

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 2.5 m/s² で 4 s 加速し、次に 24 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。 2 つの停留所間の全距離 s を求めよ。

a₁ = 2.5 m/s²t₁ = 4 st₂ = 24 sa₃ = −3 m/s²

s = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 11 kg のブロックが、水平と 45° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 11 kgθ = 45°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 8 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 36 m/s で打ち出し、100 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 36 m/sR = 100 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 50° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 50°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg のブロックが水平と 25° をなす斜面を 13 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.15 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 10 kgθ = 25°μ = 0.15d = 13 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 4 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 5 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 2500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 4 kgh = 5 mL = 4 mμ = 0.1k = 2500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、2 m/s で動く質量 4 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 5 kgv₁ = 2 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 12 m/s で走る質量 900 kg の自動車が、北向きに 19 m/s で走る質量 2000 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 900 kgv₁ = 12 m/s (E)m₂ = 2000 kgv₂ = 19 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 3 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 1 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 40 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 380 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 380 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 75 mm に細くなりながら 1 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 360 kPa、流速は 1.5 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 75 mmp₁ = 360 kPav₁ = 1.5 m/sΔz = 1 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

300 kPa、50 °C において、CO₂ 320 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 320 gM = 44.01 g/molP = 300 kPaT = 50 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

1000 kPa、140 °C におけるArの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 39.95 g/molP = 1000 kPaT = 140 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 600 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 1200 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 600 °CT_L = 15 °CQ_H = 1200 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、28 °C のキッチンで冷蔵室を -20 °C に保ち、冷蔵室から 5 kW の熱を取り除く。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 28 °CT_L = -20 °CQ̇_L = 5 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

両端が開いた管の長さは 0.4 m です。音速は 343 m/s です。その第 4 倍音の振動数 f₄ を求めてください。

v = 343 m/sn = 4L = 0.4 m

f₄ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 500 nm の光が、0.4 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 1.2 m 先にあります。中央の明線から 4 番目の明線までの距離 y₄ を求めてください。

λ = 500 nmd = 0.4 mmL = 1.2 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.運動学

答え: t = 3.125 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動時間

0 = v₀ − a·t → t = v₀/a = 12.5/4 = 3.125 s

答え

t = 3.125 s

2.運動学

答え: s = 276.7 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

最高速度

v = a₁·t₁ = 2.5·4 = 10 m/s

各段階の距離

s₁ = ½·2.5·4² = 20 m

s₂ = 10·24 = 240 m

s₃ = 10²/(2·3) = 16.67 m

全距離

s = 20 + 240 + 16.67 = 276.7 m

答え

s = 276.7 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.937 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 45° − 0·cos 45°) = 9.81·(0.7071 − 0) = 6.937 m/s²

答え

a = 6.937 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 0.8409 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 15.7)/10.5 = 0.8409 m/s²

答え

a = 0.8409 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 24.6 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·100/36² = 0.7569

位相角

2θ = 49.2° → θ = 24.6°

答え

θ = 24.6°

もう 1 つの解は 90° − θ = 65.4° です。

6.放物運動

答え: x = 68.46 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 24·cos 50° = 15.43 m/s

v_y = v₀·sin θ = 24·sin 50° = 18.39 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 18.39·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (18.39 + √(338 + 294.3))/9.81 = 4.437 s

水平距離

x = v_x·t = 15.43·4.437 = 68.46 m

答え

x = 68.46 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 173.4 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.9063 = 88.91 N

F = μN = 0.15·88.91 = 13.34 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 13.34·13 = 173.4 J

答え

W_f = 173.4 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 38 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 39.24·(5 − 0.1·4) = 180.5 J

最大縮み

½kx² = 180.5 → x = √(2·180.5/2500) = 0.38 m = 38 cm

答え

x = 38 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 1.778 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4 − 5)/(4 + 5)·2 = −0.2222 m/s

v′₂ = 2·4/(4 + 5)·2 = 1.778 m/s

答え

v′₂ = 1.778 m/s

10.運動量と衝突

答え: v′ = 13.62 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

運動量の成分

p_x = 900·12 = 10800 kg·m/s

p_y = 2000·19 = 38000 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 39505/2900 = 13.62 m/s

答え

v′ = 13.62 m/s

11.静水圧

答え: F = 198.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 3/2 = 4.5 m

A = H·b = 3·1.5 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.5·4.5 = 198.7 kN

答え

F = 198.7 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.048 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·1 = 2.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.75·2.5 = 54.08 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 1·2.5³/12 = 1.302 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 1.302/(1.75·2.5) = 2.048 m

答え

y_cp = 2.048 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 369.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/40)² = 4.688 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 4.688²)/1000 = −10.71 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 380 + (−10.71) = 369.3 kPa

答え

p₂ = 369.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 347.8 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.5·(100/75)² = 2.667 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.5² − 2.667²)/1000 = −2.431 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·1/1000 = 9.81 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 360 + (−2.431) − 9.81 = 347.8 kPa

答え

p₂ = 347.8 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 65.12 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 320/44.01 = 7.271 mol

T = 50 + 273.15 = 323.1 K

体積

V = nRT/P = 7.271·8.314·323.1/300 = 65.12 L

答え

V = 65.12 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 11.63 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 140 + 273.15 = 413.1 K

密度

ρ = 1000·39.95/(8.314·413.1) = 11.63 kg/m³

答え

ρ = 11.63 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 804 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/873.1 = 67 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.67·1200 = 804 kJ

答え

W_max = 804 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 5.274

絶対温度

T_H = 28 + 273.15 = 301.1 K

T_L = -20 + 273.15 = 253.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 253.1/(301.1 − 253.1) = 5.274

答え

COP_max = 5.274

19.波・音・光学

答え: f₄ = 1715 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

このモードの波長

λ = 2L/n = 2·0.4/4 = 0.2 m

振動数

f = v/λ = 343/0.2 = 1715 Hz

答え

f₄ = 1715 Hz

20.波・音・光学

答え: y₄ = 6 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 500 × 10⁻⁹·1.2/(0.4 × 10⁻³) = 1.5 mm

4 番目の縞

y₄ = 4·1.5 = 6 mm

答え

y₄ = 6 mm

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