基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

一定の 31 m/s でスピード違反をしている車が、停車中のパトカーの横を通過する。その瞬間、パトカーが発進し、4.5 m/s² で一様に加速する。パトカーは出発点からどれだけ離れた所で追いつくか。d を求めよ。

v_car = 31 m/sa_police = 4.5 m/s²v_0,police = 0

d = m

2.運動学むずかしい

路面電車が静止状態から 1 m/s² で 12 s 加速し、次に 15 s 等速で走り、最後に 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。全所要時間 t を求めよ。

a₁ = 1 m/s²t₁ = 12 st₂ = 15 sa₃ = −3 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 15 kg のそりを、水平から 40° 上向きのロープで、120 N の力で水平な雪の上を引く。動摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。そりの加速度 a を求めよ。

m = 15 kgF = 120 Nθ = 40°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 2.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 70° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 16 m/sθ = 70°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 45 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 15 m/sθ = 35°h = 45 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1200 kg の自動車が 4° の坂を一定の 36 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 750 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1200 kgθ = 4°F_r = 750 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 0.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1.5 m から静かに放す。下で長さ 2.5 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 0.5 kgh = 1.5 mL = 2.5 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、8 m/s で動く質量 3.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 8 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 22 m/s で壁に当たり、9 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 5 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 22 m/sv_out = 9 m/sΔt = 5 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1.5 mH = 1.5 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 390 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 50 mmp₁ = 390 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

密閉水槽の水面上に、ゲージ圧 150 kPa の圧縮空気がある。水面より 3.5 m 下にある直径 20 mm の孔から、水が大気中に流出する。損失を無視して、次を求めよ噴流速度 v。 g = 9.81 m/s² とする。

p_air = 150 kPa (ゲージ圧)h = 3.5 md = 20 mmρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

v = m/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

400 kPa、55 °C において、CH₄ 20 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 20 gM = 16.04 g/molP = 400 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

1000 kPa、200 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 1000 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 675 °C の熱源から 4100 kJ の熱を受け取り、1354 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 675 °CQ_H = 4100 kJQ_L = 1354 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

2 つのカルノー機関が直列に働く。機関 A は 1150 °C の熱源から熱を受け取り、温度 T_m の中間熱源へ熱を放出する。機関 B はその熱をすべて受け取り、30 °C の熱源へ熱を放出する。両方の機関の熱効率は等しい。T_m を °C で求めよ。

T_H = 1150 °CT_L = 30 °C

T_m = °C

19.波・音・光学ふつう

小さなスピーカーが、あらゆる方向に均等に 5 W の音のパワーを放射します。5 m の距離での音の強さのレベル β を求めてください。

P = 5 Wr = 5 mI₀ = 10⁻¹² W/m²

β = dB

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、5 m/s で近づいてくる車に向けて 35 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 35 kHzu = 5 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 427.1 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

等しい距離

v·t = ½·a·t² → t = 2v/a = 2·31/4.5 = 13.78 s

距離

d = v·t = 31·13.78 = 427.1 m

答え

d = 427.1 m

その瞬間、パトカーは 2v = 62 m/s で走っています。

2.運動学

答え: t = 31 s

最高速度

v = a₁·t₁ = 1·12 = 12 m/s

制動時間

t₃ = v/a₃ = 12/3 = 4 s

合計時間

t = 12 + 15 + 4 = 31 s

答え

t = 31 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.261 m/s²

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

垂直抗力

N = m·g − F·sin θ = 147.2 − 120·sin 40° = 70.02 N

水平方向の力

m·a = F·cos θ − μ·N = 91.93 − 28.01

a = 63.92/15 = 4.261 m/s²

答え

a = 4.261 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 10.9 N

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/4.5 = 4.36 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 2.5·4.36 + 0 = 10.9 N

答え

T = 10.9 N

5.放物運動

答え: t = 3.065 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 16·cos 70° = 5.472 m/s

v_y = v₀·sin θ = 16·sin 70° = 15.04 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·15.04/9.81 = 3.065 s

答え

t = 3.065 s

6.放物運動

答え: x = 49.52 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 15·cos 35° = 12.29 m/s

v_y = v₀·sin θ = 15·sin 35° = 8.604 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 45 + 8.604·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (8.604 + √(74.02 + 882.9))/9.81 = 4.03 s

水平距離

x = v_x·t = 12.29·4.03 = 49.52 m

答え

x = 49.52 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 15.71 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1200·9.81 = 11772 N

mg·sin θ = 11772·sin 4° = 821.2 N

F = 821.2 + 750 = 1571 N

電力

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1571·10 = 15712 W = 15.71 kW

答え

P = 15.71 kW

8.仕事とエネルギー

答え: x = 9.042 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 4.905·(1.5 − 0.1·2.5) = 6.131 J

最大縮み

½kx² = 6.131 → x = √(2·6.131/1500) = 0.09042 m = 9.042 cm

答え

x = 9.042 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 7.467 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (3.5 − 4)/(3.5 + 4)·8 = −0.5333 m/s

v′₂ = 2·3.5/(3.5 + 4)·8 = 7.467 m/s

答え

v′₂ = 7.467 m/s

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 1550 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(9 + 22) = 7.75 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 7.75/0.005 = 1550 N

答え

F_avg = 1550 N

11.静水圧

答え: F = 33.11 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1.5 + 1.5/2 = 2.25 m

A = H·b = 1.5·1 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.25·1.5 = 33.11 kN

答え

F = 33.11 kN

12.静水圧

答え: F = 80.44 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·2·4 = 80.44 kN

答え

F = 80.44 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 388 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/50)² = 2.25 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 2.25²)/1000 = −2.031 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 390 + (−2.031) = 388 kPa

答え

p₂ = 388 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 19.2 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

水面から噴流へのベルヌーイの式

v = √(2·(150000/1000 + 9.81·3.5)) = 19.2 m/s

答え

v = 19.2 m/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 8.504 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 20/16.04 = 1.247 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体積

V = nRT/P = 1.247·8.314·328.1/400 = 8.504 L

答え

V = 8.504 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 11.19 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 1000·44.01/(8.314·473.1) = 11.19 kg/m³

答え

ρ = 11.19 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 39.97 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 675 + 273.15 = 948.1 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 948.1·1354/4100 = 313.1 K = 39.97 °C

答え

T_L = 39.97 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: T_m = 383.7 °C

絶対温度

T_H = 1150 + 273.15 = 1423 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

効率が等しい

1 − T_m/T_H = 1 − T_L/T_m より T_m² = T_H·T_L。

T_m = √(1423·303.1) = 656.8 K = 383.7 °C

答え

T_m = 383.7 °C

19.波・音・光学

答え: β = 102 dB

波：周期的な波は 1 周期で 1 波長だけ進むので、v = fλ、T = 1/f です。張られた弦では v = √(T/μ) で、T は張力、μ = m/L は 1 メートルあたりの質量です。空気中の音は 20 °C でおよそ 343 m/s、真空中の光は c = 3.00 × 10⁸ m/s で進みます。音の大きさは対数目盛りで測ります：β = 10·log₁₀(I/I₀) dB、I₀ = 10⁻¹² W/m² で、強さが 10 倍になると 10 dB 増えます。点音源はパワー P を球面に広げます：I = P/(4πr²)。

強さ

I = P/(4πr²) = 0.01592 W/m²

レベル

β = 10·log₁₀(0.01592/10⁻¹²) = 102 dB

答え

β = 102 dB

20.波・音・光学

答え: f″ = 36036 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 35000·(343 + 5)/343 = 35510 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 5) = 36036 Hz

答え

f″ = 36036 Hz

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