基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている運転者が障害物を見つける。反応時間は 0.7 s で、その後、自動車は一定の減速度 6 m/s² でブレーキをかける。障害物を見た瞬間からの全停止距離 d を求めよ。

v₀ = 54 km/ht_r = 0.7 sa = −6 m/s²

d = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 14 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 14 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 30° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 30°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 3.5 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.1 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 3.5 kgm₂ = 2 kgμ = 0.1g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、150 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 150 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

高さ 50 m のがけの上から、ボールを 30 m/s、水平から 30° 上向きに打ち出す。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。がけのふもとの地面からの最高の高さ H を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 30°h = 50 mg = 9.81 m/s²

H = m

7.仕事とエネルギーふつう

ブロックが水平と 40° をなす斜面を静止状態からすべり下りる。動摩擦係数は 0.35 である。斜面に沿って 20 m すべった後の速さ v を求めよ。

θ = 40°μ = 0.35d = 20 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

8.仕事とエネルギーむずかしい

20° の斜面の下端にあるばね定数 1000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 10 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.25 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 1000 N/mx = 10 cmθ = 20°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、11 m/s で動く質量 4.5 kg のグライダーが、静止している質量 5 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 2 台目のグライダーの速度 v′₂ を求めよ。

m₁ = 4.5 kgm₂ = 5 kgv₁ = 11 m/sv₂ = 0

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 12 g の弾丸を、長さ 1.1 m の軽い糸でつり下げた質量 2.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 40° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 2.5 kgL = 1.1 mθ = 40°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 0.5 mH = 2.5 mb = 3 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 270 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 270 kPav₁ = 1 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、150 mm から 40 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 200 kPa、流速は 1 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 40 mmp₁ = 200 kPav₁ = 1 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

700 kPa、70 °C において、O₂ 190 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 190 gM = 32 g/molP = 700 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

500 kPa、10 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 500 kPaT = 10 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 775 °C の高温熱源と 15 °C の低温熱源の間で働く。可能な最大の熱効率 η_max を求めよ。

T_H = 775 °CT_L = 15 °C

η_max = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を -18 °C に保ち、冷蔵室から 5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = -18 °CQ̇_L = 5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 25 cm の薄い収束レンズの 30 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。符号の規則は 1/f = 1/d_o + 1/d_i を使います（発散レンズでは f < 0、虚像では d_i < 0）。

d_o = 30 cmf = 25 cm

d_i = cm

20.波・音・光学むずかしい

静止している駐車センサーが、20 m/s で近づいてくる車に向けて 40 kHz の超音波を送ります。センサーに戻ってくるエコーの振動数 f″ を求めてください（音速 343 m/s）。

f = 40 kHzu = 20 m/sv = 343 m/s

f″ = Hz

3溶液

1.運動学

答え: d = 29.25 m

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

空走距離

d₁ = v₀·t_r = 15·0.7 = 10.5 m

制動距離

d₂ = v₀²/(2a) = 15²/(2·6) = 18.75 m

合計

d = 10.5 + 18.75 = 29.25 m

答え

d = 29.25 m

2.運動学

答え: t = 4.456 s

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−35 = 14·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 14·t − 35 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (14 + √(14² + 2·9.81·35))/9.81 = 4.456 s

答え

t = 4.456 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 2.356 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 30° − 0.3·cos 30°) = 9.81·(0.5 − 0.2598) = 2.356 m/s²

答え

a = 2.356 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 2.943 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 3.434)/5.5 = 2.943 m/s²

答え

a = 2.943 m/s²

5.放物運動

答え: θ = 33.44 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·150/40² = 0.9197

位相角

2θ = 66.88° → θ = 33.44°

答え

θ = 33.44°

もう 1 つの解は 90° − θ = 56.56° です。

6.放物運動

答え: H = 61.47 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

鉛直方向の初速

v_y = 30·sin 30° = 15 m/s

がけの上からの上昇高さ

Δh = v_y²/(2g) = 15²/(2·9.81) = 11.47 m

地面からの高さ

H = 50 + 11.47 = 61.47 m

答え

H = 61.47 m

7.仕事とエネルギー

答え: v = 12.13 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿ったエネルギー収支

ブロックは高さ d·sin θ だけ下がり、摩擦が μmg·cos θ·d を奪います。質量は消えます。

½v² = g·d·(sin θ − μ·cos θ)

v = √(2·9.81·20·(0.6428 − 0.35·0.766)) = 12.13 m/s

答え

v = 12.13 m/s

8.仕事とエネルギー

答え: d = 1.767 m

ばねのエネルギー

x = 10 cm = 0.1 m

½kx² = ½·1000·0.1² = 5 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 5/(4.905·(0.342 + 0.25·0.9397)) = 1.767 m

答え

d = 1.767 m

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 10.42 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (4.5 − 5)/(4.5 + 5)·11 = −0.5789 m/s

v′₂ = 2·4.5/(4.5 + 5)·11 = 10.42 m/s

答え

v′₂ = 10.42 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 470.4 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.1·(1 − cos 40°) = 0.2574 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.2574) = 2.247 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 2.512·2.247/0.012 = 470.4 m/s

答え

v = 470.4 m/s

11.静水圧

答え: F = 24.52 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 1/2 = 2.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2.5·1 = 24.52 kN

答え

F = 24.52 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 2.048 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 2.5·3 = 7.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·1.75·7.5 = 162.2 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·2.5³/12 = 3.906 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 3.906/(1.75·7.5) = 2.048 m

答え

y_cp = 2.048 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 230 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(75/25)² = 9 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 9²)/1000 = −40 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 270 + (−40) = 230 kPa

答え

p₂ = 230 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 23.14 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1·(150/40)² = 14.06 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1² − 14.06²)/1000 = −98.38 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 200 + (−98.38) − 78.48 = 23.14 kPa

答え

p₂ = 23.14 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 24.2 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 190/32 = 5.938 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体積

V = nRT/P = 5.938·8.314·343.1/700 = 24.2 L

答え

V = 24.2 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 9.347 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 10 + 273.15 = 283.1 K

密度

ρ = 500·44.01/(8.314·283.1) = 9.347 kg/m³

答え

ρ = 9.347 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_max = 72.51 %

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 775 + 273.15 = 1048 K

T_L = 15 + 273.15 = 288.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 288.1/1048 = 72.51 %

答え

η_max = 72.51 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.9798 kW

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = -18 + 273.15 = 255.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 255.1/(305.1 − 255.1) = 5.103

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 5/5.103 = 0.9798 kW

答え

Ẇ_min = 0.9798 kW

19.波・音・光学

答え: d_i = 150 cm

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/30

d_i = 150 cm

光線図

実像、レンズの反対側

答え

d_i = 150 cm

20.波・音・光学

答え: f″ = 44954 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

車での振動数

f′ = 40000·(343 + 20)/343 = 42332 Hz

エコーの振動数

f″ = f′·343/(343 − 20) = 44954 Hz

答え

f″ = 44954 Hz

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