基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

54 km/h で走っている車が、一定の減速度 3 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 54 km/ha = −3 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 5 m の屋上の端から、ボールを 5 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 5 m/sh₀ = 5 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 3 kg のブロックが、水平と 40° をなすなめらかな斜面をすべり下りる。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 3 kgθ = 40°μ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 140 N が前の 2 kg のブロックを引き、8 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 2 kgF = 140 Nμ = 0.3g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 38 m/s で打ち出し、45 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 38 m/sR = 45 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 21 m/sθ = 35°h = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

7.仕事とエネルギーふつう

質量 1000 kg の自動車が 5° の坂を一定の 36 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 300 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 1000 kgθ = 5°F_r = 300 Nv = 36 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 1 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 4.5 m から静かに放す。下で長さ 4.5 m の粗い水平区間（μ = 0.2）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 5000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 1 kgh = 4.5 mL = 4.5 mμ = 0.2k = 5000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

5 m/s で動いている質量 600 kg の自動車が、静止している質量 700 kg の自動車に衝突し、2 台は一体となる。衝突で失われる運動エネルギー ΔK はどれだけか。

m₁ = 600 kgv₁ = 5 m/sm₂ = 700 kgv₂ = 0

ΔK = J

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.25 kg のボールが 18 m/s で壁に当たり、19 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 10 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.25 kgv_in = 18 m/sv_out = 19 m/sΔt = 10 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、75 mm から 25 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 320 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 75 mmd₂ = 25 mmp₁ = 320 kPav₁ = 0.75 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 40 mm に細くなりながら 9 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 270 kPa、流速は 2 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 40 mmp₁ = 270 kPav₁ = 2 m/sΔz = 9 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

750 kPa、85 °C において、CH₄ 480 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 480 gM = 16.04 g/molP = 750 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のN₂が 300 kPa、10 L、40 °C から 100 kPa、60 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 300 kPaV₁ = 10 LT₁ = 40 °CP₂ = 100 kPaT₂ = 60 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆（カルノー）熱機関が 1 サイクルあたり 800 °C の熱源から 4900 kJ の熱を受け取り、1407 kJ を放出する。低温熱源の温度 T_L を °C で求めよ。

T_H = 800 °CQ_H = 4900 kJQ_L = 1407 kJ

T_L = °C

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 550 °C の熱源から 60 kW の熱を受け取り、20 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は 0 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 20 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 550 °CT₀ = 20 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 60 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

観測者が、静止している 500 Hz の音源から遠ざかるように 20 m/s で動いています。音速は 343 m/s です。観測者に聞こえる振動数 f′ を求めてください。

f = 500 Hzv = 343 m/sv_o = 20 m/s

f′ = Hz

20.波・音・光学むずかしい

波長 480 nm の光が、0.15 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2.5 m 先にあります。隣り合う明線の間隔 Δy を求めてください。

λ = 480 nmd = 0.15 mmL = 2.5 m

Δy = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 37.5 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 54/3.6 = 15 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 15²/(2·3) = 37.5 m

答え

s = 37.5 m

2.運動学

答え: t = 1.641 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−5 = 5·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 5·t − 5 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (5 + √(5² + 2·9.81·5))/9.81 = 1.641 s

答え

t = 1.641 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 6.306 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0) = 6.306 m/s²

答え

a = 6.306 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 112 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (140 − 29.43)/10 = 11.06 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(11.06 + 2.943) = 112 N

答え

T = 112 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: θ = 8.901 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·45/38² = 0.3057

位相角

2θ = 17.8° → θ = 8.901°

答え

θ = 8.901°

もう 1 つの解は 90° − θ = 81.1° です。

6.放物運動

答え: t = 3.591 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 21·cos 35° = 17.2 m/s

v_y = v₀·sin θ = 21·sin 35° = 12.05 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 12.05·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (12.05 + √(145.1 + 392.4))/9.81 = 3.591 s

答え

t = 3.591 s

7.仕事とエネルギー

答え: P = 11.55 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 1000·9.81 = 9810 N

mg·sin θ = 9810·sin 5° = 855 N

F = 855 + 300 = 1155 N

電力

v = 36/3.6 = 10 m/s

P = F·v = 1155·10 = 11550 W = 11.55 kW

答え

P = 11.55 kW

8.仕事とエネルギー

答え: x = 11.89 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 9.81·(4.5 − 0.2·4.5) = 35.32 J

最大縮み

½kx² = 35.32 → x = √(2·35.32/5000) = 0.1189 m = 11.89 cm

答え

x = 11.89 cm

9.運動量と衝突

答え: ΔK = 4038 J

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

共通の速度

v′ = m₁·v₁/(m₁ + m₂) = 600·5/1300 = 2.308 m/s

衝突前後の運動エネルギー

K_before = ½·600·5² = 7500 J

K_after = ½·1300·2.308² = 3462 J

失われたエネルギー

ΔK = 7500 − 3462 = 4038 J

答え

ΔK = 4038 J

失われたエネルギーは変形、熱、音になります。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 925 N

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.25·(19 + 18) = 9.25 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 9.25/0.01 = 925 N

答え

F_avg = 925 N

11.静水圧

答え: F = 78.48 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4 = 78.48 kN

答え

F = 78.48 kN

12.静水圧

答え: F = 58.86 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2/2 = 3 m

A = H·b = 2·1 = 2 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3·2 = 58.86 kN

答え

F = 58.86 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 297.5 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(75/25)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 6.75²)/1000 = −22.5 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 320 + (−22.5) = 297.5 kPa

答え

p₂ = 297.5 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 105.6 kPa

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2·(100/40)² = 12.5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2² − 12.5²)/1000 = −76.13 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·9/1000 = 88.29 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−76.13) − 88.29 = 105.6 kPa

答え

p₂ = 105.6 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 118.8 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 480/16.04 = 29.93 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体積

V = nRT/P = 29.93·8.314·358.1/750 = 118.8 L

答え

V = 118.8 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 31.92 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 313.1 K, T₂ = 333.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 10·(300/100)·(333.1/313.1) = 31.92 L

答え

V₂ = 31.92 L

17.熱機関と冷凍機

答え: T_L = 35 °C

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

熱源の絶対温度

T_H = 800 + 273.15 = 1073 K

可逆サイクルの熱量比

T_L = T_H·Q_L/Q_H = 1073·1407/4900 = 308.1 K = 35 °C

答え

T_L = 35 °C

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 527.6 kW

絶対温度

T_H = 550 + 273.15 = 823.1 K

T₀ = 20 + 273.15 = 293.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

機関の仕事

η = 1 − 293.1/823.1 = 0.6439

Ẇ = 0.6439·60 = 38.63 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 273.1/(293.1 − 273.1) = 13.66

Q̇_L = 13.66·38.63 = 527.6 kW

答え

Q̇_L = 527.6 kW

19.波・音・光学

答え: f′ = 470.8 Hz

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

ドップラーの公式

f′ = f·(v − v_o)/(v + v_s) = 500·(343 − 20)/(343 + 0)

f′ = 470.8 Hz

答え

f′ = 470.8 Hz

20.波・音・光学

答え: Δy = 8 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2.5/(0.15 × 10⁻³) = 8 mm

答え

Δy = 8 mm

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