基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 7.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −7.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 35 m の屋上の端から、ボールを 10 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 10 m/sh₀ = 35 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 8 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 8 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 6 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 6 kgm₂ = 2.5 kgμ = 0.2g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 55° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが達する最高高さ H を求めよ。

v₀ = 10 m/sθ = 55°g = 9.81 m/s²

H = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 24 m/s、水平から 60° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 9 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 24 m/sθ = 60°h_roof = 9 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 10 kg のブロックが水平と 40° をなす斜面を 7 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.4 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 10 kgθ = 40°μ = 0.4d = 7 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 5 kg の台車が、半径 5 m の鉛直な円形ループにつながるなめらかな軌道上の高さ 20 m から静かに放される。ループの最高点での台車の速さ v を求めよ。

m = 5 kgh = 20 mR = 5 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 1 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 4 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 1 kgh = 4 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 5 g の弾丸を、長さ 1.3 m の軽い糸でつり下げた質量 1.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。糸は鉛直から最大 15° まで振れる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 5 gM = 1.5 kgL = 1.3 mθ = 15°g = 9.81 m/s²

v = m/s

11.静水圧ふつう

幅 1 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1 mb = 1 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、150 mm から 100 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 250 kPa、流速は 3 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 150 mmd₂ = 100 mmp₁ = 250 kPav₁ = 3 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水平なベンチュリ管（入口 80 mm、のど部 40 mm）を水が流れる。入口とのど部の間に接続した水銀 U 字管マノメータの液面差は 90 mm である。流量係数は 0.99 である。流量 Q を求めよ。水は ρ = 1000 kg/m³、水銀は 13 600 kg/m³、g = 9.81 m/s² とする。

d₁ = 80 mmd₂ = 40 mmΔh = 90 mmC_d = 0.99ρ_Hg = 13 600 kg/m³g = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

800 kPa、60 °C において、He 110 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 110 gM = 4.003 g/molP = 800 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

一定量のHeが 150 kPa、2 L、25 °C から 200 kPa、160 °C に変化する。新しい体積 V₂ を求めよ。

P₁ = 150 kPaV₁ = 2 LT₁ = 25 °CP₂ = 200 kPaT₂ = 160 °C

V₂ = L

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 650 °C の熱源から熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 44% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 650 °CT_L = 30 °Cη = 44%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、32 °C のキッチンで冷蔵室を 2 °C に保ち、冷蔵室から 1.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 32 °CT_L = 2 °CQ̇_L = 1.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

透明なブロックの内部の光は、45° を超えるすべての入射角で、グリセリン（n = 1.47）との境界で全反射します。ブロックの屈折率 n₁ を求めてください。

θ_c = 45°n₂ = 1.47

n₁ =

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 60 cm の凸面鏡の 15 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 15 cmR = 60 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 18.52 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7.5) = 18.52 m

答え

s = 18.52 m

2.運動学

答え: h_max = 40.1 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 10²/(2·9.81) = 5.097 m

地面からの高さ

h_max = 35 + 5.097 = 40.1 m

答え

h_max = 40.1 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 20.77 N

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (24.53 − 11.77)/8.5 = 1.5 m/s²

机の上のブロックから求める張力

T − μ·m₁·g = m₁·a

T = 6·1.5 + 11.77 = 20.77 N

答え

T = 20.77 N

5.放物運動

答え: H = 3.42 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 10·cos 55° = 5.736 m/s

v_y = v₀·sin θ = 10·sin 55° = 8.192 m/s

最高点

最高点では鉛直速度が 0：v_y² = 2gH。

H = v_y²/(2g) = 8.192²/(2·9.81) = 3.42 m

答え

H = 3.42 m

6.放物運動

答え: x = 44.97 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 12 m/s, v_y = 20.78 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

9 = 20.78·t − 4.905·t²

t = (20.78 + √(20.78² − 2·9.81·9))/9.81 = 3.748 s

水平距離

x = v_x·t = 12·3.748 = 44.97 m

答え

x = 44.97 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 210.4 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 98.1·0.766 = 75.15 N

F = μN = 0.4·75.15 = 30.06 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 30.06·7 = 210.4 J

答え

W_f = 210.4 J

8.仕事とエネルギー

答え: v = 14.01 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。円軌道上では、中心に向かう合力は mv²/r に等しくなければなりません。

最高点での速さ

v² = 2g(h − 2R) = 2·9.81·(20 − 10) = 196.2 m²/s²

v = 14.01 m/s

答え

v = 14.01 m/s

h = 2.5R のとき台車はぎりぎりで一周でき、最高点で N = 0 になります。

9.運動量と衝突

答え: v = 74.71 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.04) = 0.8859 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 1)·0.8859/0.012 = 74.71 m/s

答え

v = 74.71 m/s

10.運動量と衝突

答え: v = 280.6 m/s

木片の上昇

h = L·(1 − cos θ) = 1.3·(1 − cos 15°) = 0.0443 m

衝突後の速さ

V = √(2·9.81·0.0443) = 0.9323 m/s

衝突

v = (m + M)·V/m = 1.505·0.9323/0.005 = 280.6 m/s

答え

v = 280.6 m/s

11.静水圧

答え: F = 14.71 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1/2 = 1.5 m

A = H·b = 1·1 = 1 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·1 = 14.71 kN

答え

F = 14.71 kN

12.静水圧

答え: F = 169.7 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1.5/2 = 3.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3.75·4.5 = 169.7 kN

答え

F = 169.7 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 231.7 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 3·(150/100)² = 6.75 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(3² − 6.75²)/1000 = −18.28 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 250 + (−18.28) = 231.7 kPa

答え

p₂ = 231.7 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 6.061 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

マノメータによる圧力差

Δp = (13600 − 1000)·9.81·0.09 = 11125 Pa

のど部の流速

連続の式とベルヌーイの式を組み合わせると、理想的なのど部の流速が得られます。

β = 40/80 = 0.5

v₂ = √(2·11125/(1000·(1 − 0.0625))) = 4.872 m/s

実際の流量

Q = C_d·A₂·v₂ = 0.99·0.001257·4.872 = 0.006061 m³/s = 6.061 L/s

答え

Q = 6.061 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 95.14 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 110/4.003 = 27.48 mol

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

体積

V = nRT/P = 27.48·8.314·333.1/800 = 95.14 L

答え

V = 95.14 L

16.理想気体の状態方程式

答え: V₂ = 2.179 L

ボイル・シャルルの法則：一定量の理想気体では P₁V₁/T₁ = P₂V₂/T₂。

絶対温度

T₁ = 298.1 K, T₂ = 433.1 K

ボイル・シャルルの法則

V₂ = V₁·(P₁/P₂)·(T₂/T₁) = 2·(150/200)·(433.1/298.1) = 2.179 L

答え

V₂ = 2.179 L

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 65.51 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 650 + 273.15 = 923.1 K

T_L = 30 + 273.15 = 303.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 303.1/923.1 = 67.16 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 44/67.16 = 65.51 %

答え

η_II = 65.51 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.1635 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 32 + 273.15 = 305.1 K

T_L = 2 + 273.15 = 275.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 275.1/(305.1 − 275.1) = 9.172

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 1.5/9.172 = 0.1635 kW

答え

Ẇ_min = 0.1635 kW

19.波・音・光学

答え: n₁ = 2.079

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

ブロックの屈折率

n₁ = n₂/sin θc = 1.47/0.7071 = 2.079

答え

n₁ = 2.079

20.波・音・光学

答え: d_i = −10 cm

焦点距離

f = −R/2 = −30 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/(−30) − 1/15

d_i = −10 cm

光線図

鏡の後ろにできる虚像

答え

d_i = −10 cm

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