基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

90 km/h で走っている車が、一定の減速度 3.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 90 km/ha = −3.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 10 m の屋上の端から、ボールを 18 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 18 m/sh₀ = 10 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 9 kg のブロックが、水平と 40° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.25 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 9 kgθ = 40°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な床の上の 2 つのブロックが軽い水平な糸でつながれている。水平な力 30 N が前の 3 kg のブロックを引き、8 kg のブロックは後ろから引かれる。両方のブロックの動摩擦係数は 0.15 である。g = 9.81 m/s² とする。つないでいる糸の張力 T を求めよ。

m₁ = 8 kgm₂ = 3 kgF = 30 Nμ = 0.15g = 9.81 m/s²

T = N

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 40 m/s で打ち出し、65 m 先に着地させなければならない。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。2 つの可能な打ち出し角のうち小さい方 θ を求めよ。

v₀ = 40 m/sR = 65 mg = 9.81 m/s²

θ = °

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 20 m の崖の上から水平から 15° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 15°h = 20 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 5 kg のブロックが水平と 45° をなす斜面を 3 m すべり下りる。動摩擦係数は 0.1 である。摩擦に逆らってした仕事 W_f を求めよ。

m = 5 kgθ = 45°μ = 0.1d = 3 mg = 9.81 m/s²

W_f = J

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 1 m から静かに放す。下で長さ 4 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1500 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2 kgh = 1 mL = 4 mμ = 0.1k = 1500 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

水平に 12 m/s で動いている質量 20 kg の物体が、同じ直線上を動く 2 つの破片に爆発する。質量 5 kg の破片は前向きに 22 m/s で進み続ける。質量 15 kg の破片の速度 v′₂ を求めよ（元の向きを正とする）。

M = 20 kgu = 12 m/sm₁ = 5 kgv′₁ = 22 m/sm₂ = 15 kg

v′₂ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 21 m/s で壁に当たり、15 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 40 ms である。壁がボールに与える力積の大きさ J を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 21 m/sv_out = 15 m/sΔt = 40 ms

J = N·s

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 4 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 4 mH = 1.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

入口径 100 mm、のど部径 50 mm の水平なベンチュリ管を水が流れる。入口の圧力はのど部より 6 kPa 高い。損失を無視して、流量 Q を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ − p₂ = 6 kPaρ = 1000 kg/m³

Q = L/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 1.5 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 3.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を求めよ。

d = 50 mmz_C = +1.5 mz₂ = −3.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

300 kPa、70 °C において、CO₂ 480 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 480 gM = 44.01 g/molP = 300 kPaT = 70 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

900 kPa、60 °C におけるHeの密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 4.003 g/molP = 900 kPaT = 60 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

可逆冷凍機が 4 kW の熱を取り除いて冷蔵室を 4 °C に保ち、30 °C の周囲へ熱を放出する。放出する熱量 Q̇_H を求めよ。

T_L = 4 °CT_H = 30 °CQ̇_L = 4 kW

Q̇_H = kW

18.熱機関と冷凍機むずかしい

カルノー熱機関が 750 °C の熱源から 10 kW の熱を受け取り、30 °C の周囲へ熱を放出する。その仕事はすべてカルノー冷凍機を駆動し、冷凍機は 0 °C の冷凍庫から熱を取り除いて、同じく 30 °C の周囲へ熱を放出する。冷凍庫から熱を取り除く割合 Q̇_L を求めよ。

T_H = 750 °CT₀ = 30 °CT_L = 0 °CQ̇_H = 10 kW

Q̇_L = kW

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 5 cm の薄い収束レンズの 60 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 60 cmf = 5 cm

m =

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 30 cm の凹面鏡の 30 cm 前にあります。像の距離 d_i を求めてください。鏡の前の像（実像）では正、鏡の後ろの像（虚像）では負とします。

d_o = 30 cmR = 30 cm

d_i = cm

3溶液

1.運動学

答え: s = 89.29 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 90/3.6 = 25 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 25²/(2·3.5) = 89.29 m

答え

s = 89.29 m

2.運動学

答え: t = 4.16 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−10 = 18·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 18·t − 10 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (18 + √(18² + 2·9.81·10))/9.81 = 4.16 s

答え

t = 4.16 s

3.ニュートンの法則

答え: a = 4.427 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 40° − 0.25·cos 40°) = 9.81·(0.6428 − 0.1915) = 4.427 m/s²

答え

a = 4.427 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: T = 21.82 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

系全体

a = (F − μ·(m₁ + m₂)·g)/(m₁ + m₂) = (30 − 16.19)/11 = 1.256 m/s²

後ろのブロックだけ

T = m₁·(a + μ·g) = 8·(1.256 + 1.472) = 21.82 N

答え

T = 21.82 N

両方のブロックの μ が同じなら、摩擦は消えます：T = F·m₁/(m₁ + m₂)。

5.放物運動

答え: θ = 11.74 °

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

水平到達距離の式

R = v₀²·sin 2θ/g → sin 2θ = 9.81·65/40² = 0.3985

位相角

2θ = 23.49° → θ = 11.74°

答え

θ = 11.74°

もう 1 つの解は 90° − θ = 78.26° です。

6.放物運動

答え: x = 56.98 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 15° = 21.25 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 15° = 5.694 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 20 + 5.694·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (5.694 + √(32.42 + 392.4))/9.81 = 2.681 s

水平距離

x = v_x·t = 21.25·2.681 = 56.98 m

答え

x = 56.98 m

7.仕事とエネルギー

答え: W_f = 10.41 J

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

摩擦力

N = mg·cos θ = 49.05·0.7071 = 34.68 N

F = μN = 0.1·34.68 = 3.468 N

摩擦に逆らう仕事

W_f = F·d = 3.468·3 = 10.41 J

答え

W_f = 10.41 J

8.仕事とエネルギー

答え: x = 12.53 cm

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 19.62·(1 − 0.1·4) = 11.77 J

最大縮み

½kx² = 11.77 → x = √(2·11.77/1500) = 0.1253 m = 12.53 cm

答え

x = 12.53 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₂ = 8.667 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突前の運動量

p = M·u = 20·12 = 240 kg·m/s

衝突後の運動量

240 = 5·22 + 15·v′₂

v′₂ = (240 − 110)/15 = 8.667 m/s

答え

v′₂ = 8.667 m/s

10.運動量と衝突

答え: J = 3.6 N·s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(15 + 21) = 3.6 N·s

答え

J = 3.6 N·s

11.静水圧

答え: F = 38.63 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.75·2.25 = 38.63 kN

答え

F = 38.63 kN

12.静水圧

答え: F = 104.8 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 4 + 1.5/2 = 4.75 m

A = H·b = 1.5·1.5 = 2.25 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·4.75·2.25 = 104.8 kN

答え

F = 104.8 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 7.025 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

連続の式

v₁ = v₂·(50/100)² = 0.25·v₂

入口とのど部の間のベルヌーイの式

管は水平なので、変化するのは圧力と流速だけです。

p₁ − p₂ = ½ρv₂²(1 − β⁴)

v₂ = √(2·6000/(1000·(1 − 0.0625))) = 3.578 m/s

v₁ = 0.8944 m/s

流量

Q = A₂·v₂ = 0.001963·3.578 = 0.007025 m³/s = 7.025 L/s

答え

Q = 7.025 L/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 16.27 L/s

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·3.5) = √(2·9.81·3.5) = 8.287 m/s

流量

Q = A·v = 0.001963·8.287 = 0.01627 m³/s = 16.27 L/s

答え

Q = 16.27 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 103.7 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 480/44.01 = 10.91 mol

T = 70 + 273.15 = 343.1 K

体積

V = nRT/P = 10.91·8.314·343.1/300 = 103.7 L

答え

V = 103.7 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 1.301 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 60 + 273.15 = 333.1 K

密度

ρ = 900·4.003/(8.314·333.1) = 1.301 kg/m³

答え

ρ = 1.301 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_H = 4.375 kW

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 4 + 273.15 = 277.1 K

可逆サイクルの熱量比

Q̇_H = Q̇_L·T_H/T_L = 4·303.1/277.1 = 4.375 kW

答え

Q̇_H = 4.375 kW

入力動力：Ẇ = 0.3752 kW。

18.熱機関と冷凍機

答え: Q̇_L = 64.07 kW

絶対温度

T_H = 750 + 273.15 = 1023 K

T₀ = 30 + 273.15 = 303.1 K

T_L = 0 + 273.15 = 273.1 K

機関の仕事

η = 1 − 303.1/1023 = 0.7037

Ẇ = 0.7037·10 = 7.037 kW

冷凍機が取り除く熱

COP_R = 273.1/(303.1 − 273.1) = 9.105

Q̇_L = 9.105·7.037 = 64.07 kW

答え

Q̇_L = 64.07 kW

19.波・音・光学

答え: m = −0.09091

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/5 − 1/60

d_i = 5.455 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −5.455/60 = −0.09091

答え

m = −0.09091

20.波・音・光学

答え: d_i = 30 cm

焦点距離

f = R/2 = 15 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/15 − 1/30

d_i = 30 cm

光線図

鏡の前にできる実像

答え

d_i = 30 cm

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