基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

45 km/h で走っている車が、一定の減速度 4.5 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 45 km/ha = −4.5 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 20 m の屋上の端から、ボールを 6 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げてから地面に落ちるまでの時間 t を求めよ。

v₀ = 6 m/sh₀ = 20 mg = 9.81 m/s²

t = s

3.ニュートンの法則ふつう

質量 10 kg の箱を、水平と 35° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.4 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 10 kgθ = 35°μ = 0.4g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

ブロックを押して、15° の斜面を速さ 8 m/s ですべり上がらせる。動摩擦係数は 0.3 である。g = 9.81 m/s² とする。止まるまでに斜面に沿ってどれだけの距離 d すべるか。

v₀ = 8 m/sθ = 15°μ = 0.3g = 9.81 m/s²

d = m

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 18 m/s、水平から 70° 上向きに、6 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 18 m/sθ = 70°x = 6 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 10 m の崖の上から水平から 35° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 31 m/sθ = 35°h = 10 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

水平な道路を 70 km/h で走る自動車が急ブレーキをかけ、車輪がロックしたまますべって停止する。タイヤと路面の間の動摩擦係数は 0.6 である。停止距離 d を求めよ。

v = 70 km/hμ = 0.6g = 9.81 m/s²

d = m

8.仕事とエネルギーむずかしい

30° の斜面の下端にあるばね定数 2000 N/m のばねを、質量 0.5 kg のブロックに押し当てて 15 cm 縮めてから放す。ブロックと斜面の間の動摩擦係数は 0.15 である。ブロックは放した点から斜面をどれだけの距離 d 上がって止まるか。（ばねが押す短い距離は無視し、摩擦と重力は全距離 d にわたって作用するとする。）

m = 0.5 kgk = 2000 N/mx = 15 cmθ = 30°μ = 0.15g = 9.81 m/s²

d = m

9.運動量と衝突ふつう

質量 12 g の弾丸を、軽い糸でつり下げた質量 4.5 kg の木片に水平に撃ち込むと、弾丸は木片の中にとどまる。木片は初めより 9 cm 高い位置まで振れ上がる。g = 9.81 m/s² とする。衝突前の弾丸の速さ v を求めよ。

m = 12 gM = 4.5 kgh = 9 cmg = 9.81 m/s²

v = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

交差点で、東向きに 11 m/s で走る質量 1200 kg の自動車が、北向きに 8 m/s で走る質量 1200 kg の自動車と衝突する。2 台は一体となる。衝突直後の残骸の速さ v′ を求めよ。

m₁ = 1200 kgv₁ = 11 m/s (E)m₂ = 1200 kgv₂ = 8 m/s (N)

v′ = m/s

11.静水圧ふつう

幅 2 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 1 mH = 2 mb = 2 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、グリセリンを入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 3 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 3 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1260 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が、100 mm から 50 mm に細くなる水平管を流れる。太い部分の圧力は 240 kPa、流速は 1.25 m/s である。損失を無視して、細い部分の圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 240 kPav₁ = 1.25 m/sρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

内径 50 mm のホースで開放水槽から水をサイホンで吸い出す。ホースの最高点 C は水面より 1 m 上にあり、出口（大気に開放）は水面より 1.5 m 下にある。損失を無視し、g = 9.81 m/s² とする。流量 Q を求めよ。

d = 50 mmz_C = +1 mz₂ = −1.5 mg = 9.81 m/s²

Q = L/s

15.理想気体の状態方程式ふつう

700 kPa、85 °C において、Ar 290 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 290 gM = 39.95 g/molP = 700 kPaT = 85 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

450 kPa、130 °C におけるO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 32 g/molP = 450 kPaT = 130 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 850 °C の熱源から熱を受け取り、10 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 37% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 850 °CT_L = 10 °Cη = 37%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

ヒートポンプが 7 °C の熱源から熱をくみ上げ、22 °C の暖房システムに 14 kW の熱を供給する。実際の COP はこれらの温度間のカルノー COP の 35% である。使う電力 Ẇ を求めよ。

T_H = 22 °CT_L = 7 °Cη_II = 35%Q̇_H = 14 kW

Ẇ = kW

19.波・音・光学ふつう

一端が閉じた管は、基本振動（第 1 倍音）が 132 Hz になる必要があります。音速は 343 m/s です。管の長さ L を求めてください。

v = 343 m/sn = 1f₁ = 132 Hz

L = m

20.波・音・光学むずかしい

物体が、曲率半径 50 cm の凹面鏡の 4 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 4 cmR = 50 cm

m =

3溶液

1.運動学

答え: s = 17.36 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 45/3.6 = 12.5 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 12.5²/(2·4.5) = 17.36 m

答え

s = 17.36 m

2.運動学

答え: t = 2.721 s

運動の式

上向きを正とし、地面は出発点の h₀ 下にあります。

−20 = 6·t − ½·9.81·t²

4.905·t² − 6·t − 20 = 0

2 次方程式を解く

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t = (6 + √(6² + 2·9.81·20))/9.81 = 2.721 s

答え

t = 2.721 s

3.ニュートンの法則

答え: F = 88.41 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 56.27 + 32.14 = 88.41 N

答え

F = 88.41 N

4.ニュートンの法則

答え: d = 5.946 m

減速度

どちらの力も斜面を下る向きで、質量は消えます。

a = 9.81·(sin 15° + 0.3·cos 15°) = 5.382 m/s²

距離

d = v₀²/(2a) = 8²/(2·5.382) = 5.946 m

答え

d = 5.946 m

5.放物運動

答え: y = 11.83 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 18·cos 70° = 6.156 m/s

t = x/v_x = 6/6.156 = 0.9746 s

その時刻での高さ

y = 16.91·0.9746 − ½·9.81·0.9746² = 11.83 m

答え

y = 11.83 m

壁の位置では、ボールはまだ上昇中です。

6.放物運動

答え: x = 104.6 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 31·cos 35° = 25.39 m/s

v_y = v₀·sin θ = 31·sin 35° = 17.78 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 10 + 17.78·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (17.78 + √(316.2 + 196.2))/9.81 = 4.12 s

水平距離

x = v_x·t = 25.39·4.12 = 104.6 m

答え

x = 104.6 m

7.仕事とエネルギー

答え: d = 32.12 m

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

基本単位での速さ

v = 70/3.6 = 19.44 m/s

エネルギー収支

½mv² = μmg·d → d = v²/(2μg) = 19.44²/(2·0.6·9.81) = 32.12 m

答え

d = 32.12 m

速さを 2 倍にすると、停止距離は 4 倍になります。

8.仕事とエネルギー

答え: d = 7.282 m

ばねのエネルギー

x = 15 cm = 0.15 m

½kx² = ½·2000·0.15² = 22.5 J

斜面に沿ったエネルギー収支

m·g = 0.5·9.81 = 4.905 N

½kx² = mg·d·(sin θ + μ·cos θ)

d = 22.5/(4.905·(0.5 + 0.15·0.866)) = 7.282 m

答え

d = 7.282 m

9.運動量と衝突

答え: v = 499.6 m/s

Conservation of momentum: when no external force acts during a collision, the total momentum Σm·v before equals the total after. Velocities have a direction, so pick a positive direction and give velocities the other way a minus sign. In an elastic collision kinetic energy is conserved too; in a perfectly inelastic one the bodies stick together.

衝突後の振れ上がり

V = √(2·g·h) = √(2·9.81·0.09) = 1.329 m/s

衝突

m·v = (m + M)·V → v = (0.012 + 4.5)·1.329/0.012 = 499.6 m/s

答え

v = 499.6 m/s

10.運動量と衝突

答え: v′ = 6.801 m/s

運動量の成分

p_x = 1200·11 = 13200 kg·m/s

p_y = 1200·8 = 9600 kg·m/s

残骸の速さ

v′ = √(p_x² + p_y²)/(m₁ + m₂) = 16322/2400 = 6.801 m/s

答え

v′ = 6.801 m/s

11.静水圧

答え: F = 78.48 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 2/2 = 2 m

A = H·b = 2·2 = 4 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·2·4 = 78.48 kN

答え

F = 78.48 kN

12.静水圧

答え: F = 64.89 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 3 + 1/2 = 3.5 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1260·9.81·3.5·1.5 = 64.89 kN

答え

F = 64.89 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 228.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 1.25·(100/50)² = 5 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(1.25² − 5²)/1000 = −11.72 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) = 240 + (−11.72) = 228.3 kPa

答え

p₂ = 228.3 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: Q = 10.65 L/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

ホース内の流速

水面と出口はどちらも大気に開放されているので、圧力の項は打ち消し合います。

v = √(2g·1.5) = √(2·9.81·1.5) = 5.425 m/s

流量

Q = A·v = 0.001963·5.425 = 0.01065 m³/s = 10.65 L/s

答え

Q = 10.65 L/s

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 30.88 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 290/39.95 = 7.259 mol

T = 85 + 273.15 = 358.1 K

体積

V = nRT/P = 7.259·8.314·358.1/700 = 30.88 L

答え

V = 30.88 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 4.296 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 130 + 273.15 = 403.1 K

密度

ρ = 450·32/(8.314·403.1) = 4.296 kg/m³

答え

ρ = 4.296 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 49.47 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 283.1/1123 = 74.79 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 37/74.79 = 49.47 %

答え

η_II = 49.47 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ = 2.033 kW

絶対温度

T_H = 22 + 273.15 = 295.1 K

T_L = 7 + 273.15 = 280.1 K

カルノー COP と実際の COP

COP_max = 295.1/(295.1 − 280.1) = 19.68

COP = 0.35·19.68 = 6.887

入力動力

Ẇ = Q̇_H/COP = 14/6.887 = 2.033 kW

答え

Ẇ = 2.033 kW

19.波・音・光学

答え: L = 0.6496 m

定常波とドップラー効果：両端が固定された弦や両端が開いた管には、半波長の整数倍が収まります：L = nλ/2、f_n = n·v/(2L)、n = 1, 2, 3, … 一端が閉じた管では、閉じた端が節、開いた端が腹になります：L = nλ/4（n は奇数のみ）、f_n = n·v/(4L)。音源または観測者が両者を結ぶ線上を動くとき、f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s) となります：互いに近づく運動には上側の符号を使います。振動数がほぼ等しい 2 つの波は、|f₁ − f₂| でうなりを生じます。

波長

λ = v/f = 343/132 = 2.598 m

長さ

L = nλ/4 = 1·2.598/4 = 0.6496 m

答え

L = 0.6496 m

20.波・音・光学

答え: m = 1.19

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

焦点距離

f = R/2 = 25 cm

鏡の式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/25 − 1/4

d_i = −4.762 cm

倍率

m = −(−4.762)/4 = 1.19

答え

m = 1.19

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