基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

60 km/h で走っている車が、一定の減速度 7 m/s² でブレーキをかけて停止する。制動距離 s を求めよ。

v₀ = 60 km/ha = −7 m/s²v = 0

s = m

2.運動学むずかしい

地面から高さ 25 m の屋上の端から、ボールを 8 m/s で真上に投げ上げる。空気抵抗は無視し、g = 9.81 m/s² とする。地面からの最高点の高さ h_max を求めよ。

v₀ = 8 m/sh₀ = 25 mg = 9.81 m/s²

h_max = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 35 kg の箱を、水平と 25° をなす斜面に平行な力で、斜面を一定の速さで押し上げる。動摩擦係数は 0.25 である。g = 9.81 m/s² とする。押す力 F を求めよ。

m = 35 kgθ = 25°μ = 0.25g = 9.81 m/s²

F = N

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 4 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 2 kg のおもりとつながれている。机の面はなめらかである。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 4 kgm₂ = 2 kgμ = 0g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

水平な地面からボールを 36 m/s、水平から 50° 上向きに、78 m 先の壁に向かって蹴る。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。ボールはどの高さ y で壁を通過するか。

v₀ = 36 m/sθ = 50°x = 78 mg = 9.81 m/s²

y = m

6.放物運動むずかしい

地面の高さからボールを 30 m/s、水平から 30° 上向きに投げる。ボールは下降中に、高さ 2 m の建物の平らな屋上に着地する。空気抵抗を無視し、g = 9.81 m/s² とする。投げた点から着地点までの水平距離 x を求めよ。

v₀ = 30 m/sθ = 30°h_roof = 2 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 800 kg の自動車が 5° の坂を一定の 54 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 800 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 800 kgθ = 5°F_r = 800 Nv = 54 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 10 kg のブロックが 30° の斜面の下端で静止しており、斜面に平行な一定の力 115 N で斜面を引き上げられる。動摩擦係数は 0.25 である。ブロックが斜面を 3 m 上がった後の速さ v を求めよ。

m = 10 kgF = 115 Nθ = 30°μ = 0.25d = 3 mg = 9.81 m/s²

v = m/s

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、3 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 4 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 4 kgv₁ = 3 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.1 kg のボールが 16 m/s で壁に当たり、8 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 50 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.1 kgv_in = 16 m/sv_out = 8 m/sΔt = 50 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 0.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 0.5 mH = 2 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、海水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2.5 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2.5 mH = 1 mb = 1.5 mρ = 1025 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

13.連続の式とベルヌーイふつう

水道管内のピトー静圧管が、よどみ点圧と静圧の差として 3 kPa を示す。先端での水の流速 v を求めよ。

p₀ − p = 3 kPaρ = 1000 kg/m³

v = m/s

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、100 mm から 50 mm に細くなりながら 8 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 270 kPa、流速は 0.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 100 mmd₂ = 50 mmp₁ = 270 kPav₁ = 0.75 m/sΔz = 8 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

600 kPa、55 °C において、N₂ 430 g が占める体積 V はいくらか。理想気体として扱う。

m = 430 gM = 28.01 g/molP = 600 kPaT = 55 °CR = 8.314 J/(mol·K)

V = L

16.理想気体の状態方程式むずかしい

650 kPa、20 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 650 kPaT = 20 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 850 °C の熱源から熱を受け取り、10 °C の周囲へ熱を放出する。実際の熱効率は 56% である。第二法則効率（実際の効率とカルノー効率の比）η_II を求めよ。

T_H = 850 °CT_L = 10 °Cη = 56%

η_II = %

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、35 °C のキッチンで冷蔵室を -10 °C に保ち、冷蔵室から 0.5 kW の熱を取り除く。必要な最小入力動力 Ẇ_min を求めよ。

T_H = 35 °CT_L = -10 °CQ̇_L = 0.5 kW

Ẇ_min = kW

19.波・音・光学ふつう

光がエタノール（n = 1.36）の中を、水（n = 1.33）との平らな境界に向かって進みます。それを超えると全反射する臨界角 θ_c を求めてください。

n₁ = 1.36n₂ = 1.33

θ_c = °

20.波・音・光学むずかしい

波長 480 nm の光が、0.1 mm 離れた 2 本のスリットに当たります。スクリーンは 2 m 先にあります。中央の明線から 4 番目の明線までの距離 y₄ を求めてください。

λ = 480 nmd = 0.1 mmL = 2 mm = 4

y₄ = mm

3溶液

1.運動学

答え: s = 19.84 m

等加速度運動：v = v₀ + a·t、s = v₀·t + ½·a·t²、v² = v₀² + 2·a·s。わかっている 3 つの量と求めたい 1 つの量を含む式を選び、正の向きを 1 つに決めて符号をそろえましょう。

単位

v₀ = 60/3.6 = 16.67 m/s

制動距離

0 = v₀² − 2·a·s → s = v₀²/(2a) = 16.67²/(2·7) = 19.84 m

答え

s = 19.84 m

2.運動学

答え: h_max = 28.26 m

屋上からの上昇距離

0 = v₀² − 2·g·Δh → Δh = 8²/(2·9.81) = 3.262 m

地面からの高さ

h_max = 25 + 3.262 = 28.26 m

答え

h_max = 28.26 m

3.ニュートンの法則

答え: F = 222.9 N

Newton’s second law: the net force on a body equals its mass times its acceleration, ΣF = m·a. Draw a free-body diagram, choose a positive direction along the motion, and add every force in that direction: applied forces, friction μ·N against the motion, and the components of gravity.

斜面に沿った力

一定の速さ：力はつり合っています。

F = m·g·sin θ + μ·m·g·cos θ

押す力

F = 145.1 + 77.8 = 222.9 N

答え

F = 222.9 N

4.ニュートンの法則

答え: a = 3.27 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (19.62 − 0)/6 = 3.27 m/s²

答え

a = 3.27 m/s²

5.放物運動

答え: y = 37.23 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

壁までの時間

v_x = 36·cos 50° = 23.14 m/s

t = x/v_x = 78/23.14 = 3.371 s

その時刻での高さ

y = 27.58·3.371 − ½·9.81·3.371² = 37.23 m

答え

y = 37.23 m

壁の位置では、ボールはすでに下降中です。

6.放物運動

答え: x = 75.82 m

Projectile motion: with no air resistance, x = v_xt and y = h + v_yt − ½gt². The two directions are independent except that they share the same time.

初速度を分解する

v_x = 25.98 m/s, v_y = 15 m/s

屋上に着地するまでの時間

大きい方の解：ボールは下降中です。

2 = 15·t − 4.905·t²

t = (15 + √(15² − 2·9.81·2))/9.81 = 2.918 s

水平距離

x = v_x·t = 25.98·2.918 = 75.82 m

答え

x = 75.82 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 22.26 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 5° = 684 N

F = 684 + 800 = 1484 N

電力

v = 54/3.6 = 15 m/s

P = F·v = 1484·15 = 22260 W = 22.26 kW

答え

P = 22.26 kW

8.仕事とエネルギー

答え: v = 5.179 m/s

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

斜面に沿った力

m·g = 10·9.81 = 98.1 N

mg·sin θ = 49.05 N

μ·mg·cos θ = 21.24 N

仕事とエネルギー

½mv² = (115 − 70.29)·3 = 134.1 J

v = √(2·134.1/10) = 5.179 m/s

答え

v = 5.179 m/s

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −1.364 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 4)/(1.5 + 4)·3 = −1.364 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 4)·3 = 1.636 m/s

答え

v′₁ = −1.364 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 48 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.1·(8 + 16) = 2.4 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 2.4/0.05 = 48 N

答え

F_avg = 48 N

11.静水圧

答え: F = 44.15 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 0.5 + 2/2 = 1.5 m

A = H·b = 2·1.5 = 3 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·1.5·3 = 44.15 kN

答え

F = 44.15 kN

12.静水圧

答え: F = 45.25 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2.5 + 1/2 = 3 m

A = H·b = 1·1.5 = 1.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1025·9.81·3·1.5 = 45.25 kN

答え

F = 45.25 kN

13.連続の式とベルヌーイ

答え: v = 2.449 m/s

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

よどみ点へのベルヌーイの式

流れは先端で静止するので、その運動エネルギーが余分な圧力として現れます。

p₀ − p = ½ρv²

v = √(2·3000/1000) = 2.449 m/s

答え

v = 2.449 m/s

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 187.3 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 0.75·(100/50)² = 3 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(0.75² − 3²)/1000 = −4.219 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·8/1000 = 78.48 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 270 + (−4.219) − 78.48 = 187.3 kPa

答え

p₂ = 187.3 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: V = 69.8 L

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = 430/28.01 = 15.35 mol

T = 55 + 273.15 = 328.1 K

体積

V = nRT/P = 15.35·8.314·328.1/600 = 69.8 L

答え

V = 69.8 L

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 11.74 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 20 + 273.15 = 293.1 K

密度

ρ = 650·44.01/(8.314·293.1) = 11.74 kg/m³

答え

ρ = 11.74 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: η_II = 74.88 %

Second-law limits: no cycle working between reservoirs at absolute temperatures T_H and T_L can beat the reversible (Carnot) cycle: η_max = 1 − T_L/T_H, COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) and COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L). Energy is always conserved: Q_H = W + Q_L.

絶対温度

T_H = 850 + 273.15 = 1123 K

T_L = 10 + 273.15 = 283.1 K

カルノー効率

η_Carnot = 1 − 283.1/1123 = 74.79 %

第二法則効率

η_II = η/η_Carnot = 56/74.79 = 74.88 %

答え

η_II = 74.88 %

18.熱機関と冷凍機

答え: Ẇ_min = 0.0855 kW

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -10 + 273.15 = 263.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 263.1/(308.1 − 263.1) = 5.848

最小動力

必要な仕事が最も少ないのは、COP が最大の可逆機械です。

Ẇ_min = Q̇_L/COP = 0.5/5.848 = 0.0855 kW

答え

Ẇ_min = 0.0855 kW

19.波・音・光学

答え: θ_c = 77.94 °

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

90° の屈折

sin θc = n₂/n₁ = 1.33/1.36 = 0.9779

臨界角

θc = arcsin(0.9779) = 77.94°

答え

θ_c = 77.94°

20.波・音・光学

答え: y₄ = 38.4 mm

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

縞の間隔

Δy = λL/d = 480 × 10⁻⁹·2/(0.1 × 10⁻³) = 9.6 mm

4 番目の縞

y₄ = 4·9.6 = 38.4 mm

答え

y₄ = 38.4 mm

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