基礎物理学：直前対策パック

公式集、全トピックの解法の要点、20 問の演習問題。完全な解答は巻末にあります。

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1公式と解法

運動学

速度: v = v₀ + a·t
変位: s = v₀·t + ½·a·t²
時間を含まない式: v² = v₀² + 2·a·s
単位: 1 m/s = 3.6 km/h

解き方

わかっている量を単位つきで書き出します：v₀、v、a、t、s。
わかっている 3 つの量と未知量を含む式を選びます。
正の向きを 1 つ決め、逆向きの量にはマイナスの符号をつけます。
解いて、答えが物理的に妥当か確認します。

ニュートンの法則

第 2 法則: ΣF = m·a
重力: W = m·g
動摩擦: F_f = μ·N
斜面上: 斜面方向：m·g·sin θ、垂直方向：m·g·cos θ

解き方

物体に働くすべての力を描いた自由体図を描きます。
運動の向きに沿って正の向きを決めます。
力を運動方向とそれに垂直な方向の成分に分けます（斜面では、斜面に沿って m·g·sin θ、斜面に垂直に m·g·cos θ）。
運動方向に ΣF = m·a を適用します。摩擦力は運動と逆向きに μ·N です。

放物運動

成分: v_x = v₀cos θ, v_y = v₀sin θ
位置: x = v_xt, y = h + v_yt − ½gt²
最高点の高さ: H = h + v_y²/(2g)
水平到達距離（水平な地面）: R = v₀²·sin 2θ/g

解き方

初速度を成分に分けます：v_x = v₀·cos θ、v_y = v₀·sin θ。
水平方向は等速運動、鉛直方向は加速度 −g の運動です。
鉛直方向の運動から飛行時間を求めます。
その時間を水平方向の運動に使い、水平到達距離を求めます。

仕事とエネルギー

運動エネルギー: E_k = ½mv²
位置エネルギー: E_p = mgh
エネルギー収支: E_k1 + E_p1 + W = E_k2 + E_p2 + losses
摩擦力がする仕事: W = μ·N·d
電力: P = W/t

運動量と衝突

運動量: p = m·v
保存則: Σm·v (before) = Σm·v (after)
完全非弾性: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂)
力積: J = F·Δt = m·Δv

解き方

正の向きを決め、各速度に符号をつけます。
衝突前の運動量の和を書きます：Σm·v。
完全非弾性衝突では衝突後に物体が一体となって動き、弾性衝突では運動エネルギーも保存されます。
衝突前の運動量と衝突後の運動量を等しいとおいて解きます。

静水圧

深さでの圧力: p = ρgh
鉛直な壁に働く力: F = ρg·h_c·A
圧力中心: y_p = y_c + I_c/(y_cA)
長方形: I_c = bH³/12

連続の式とベルヌーイ

連続の式: A₁v₁ = A₂v₂
ベルヌーイの定理: p₁ + ½ρv₁² + ρgz₁ = p₂ + ½ρv₂² + ρgz₂
流量: Q = A·v
円の面積: A = πd²/4

理想気体の状態方程式

理想気体の状態方程式: pV = nRT
気体定数: R = 8.314 J/(mol·K)
ボイル・シャルルの法則: p₁V₁/T₁ = p₂V₂/T₂
物質量: n = m/M
温度: T[K] = T[°C] + 273.15

熱機関と冷凍機

効率: η = W/Q_H = 1 − Q_C/Q_H
カルノー効率: η_C = 1 − T_C/T_H (kelvin)
冷凍機の COP: COP_R = Q_C/W
ヒートポンプの COP: COP_HP = Q_H/W = COP_R + 1
エネルギー収支: Q_H = W + Q_C

波・音・光学

波の速さ: v = fλ, T = 1/f
弦: v = √(T/μ), μ = m/L
音の強さのレベル: β = 10·log₁₀(I/I₀), I₀ = 10⁻¹² W/m²
点音源: I = P/(4πr²)
定常波: 弦または開管 f_n = n·v/(2L); 閉管 f_n = n·v/(4L)、n は奇数
ドップラー効果: f′ = f·(v ± v_o)/(v ∓ v_s)
屈折率: n = c/v, λ = λ₀/n
スネルの法則: n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂
臨界角: sin θ_c = n₂/n₁
光ファイバー: NA = sin θ_a = √(n₁² − n₂²)
レンズと鏡: 1/f = 1/d_o + 1/d_i, m = −d_i/d_o, mirror f = R/2
二重スリット: d·sin θ = mλ, y_m = mλL/d
回折格子: d = 1/N, d·sin θ = mλ, m_max ≤ d/λ
単スリット: a·sin θ = mλ (dark), w = 2λL/a

解き方

問題の種類を見極めましょう：波の速さ、音の強さのレベル、定常波、ドップラー効果、屈折、レンズか鏡、または干渉。
まず関係式を書きましょう：v = fλ、β = 10·log(I/I₀)、fₙ = n·v/(2L) または n·v/(4L)、f′ = f(v ± v_o)/(v ∓ v_s)、n₁sin θ₁ = n₂sin θ₂、1/f = 1/d₀ + 1/dᵢ、d·sin θ = mλ。
単位を換算しましょう：nm、mm、cm を m に。角度が法線から測られているかも確かめましょう。
符号ともっともらしさを確かめましょう：虚像は dᵢ < 0、近づく音源は高く聞こえる、閉管には奇数次の倍音しかない。

2演習問題

1.運動学ふつう

飛行機が離陸するには 280 km/h の速さが必要で、使える滑走路の長さは 1400 m である。静止状態から出発するとき、必要な一定の加速度 a はいくらか。

v₀ = 0v = 280 km/hs = 1400 m

a = m/s²

2.運動学むずかしい

石を井戸に静かに落とす。石を放してから 3.9 s 後に水音が聞こえる。音速は 343 m/s とし、空気抵抗を無視して g = 9.81 m/s² とする。井戸の深さ d を求めよ。

t_total = 3.9 sv_sound = 343 m/sg = 9.81 m/s²

d = m

3.ニュートンの法則ふつう

質量 12 kg のブロックが、水平と 20° をなす斜面をすべり下りる。動摩擦係数は 0.2 である。 g = 9.81 m/s² とする。斜面に沿ったブロックの加速度 a を求めよ。

m = 12 kgθ = 20°μ = 0.2g = 9.81 m/s²

a = m/s²

4.ニュートンの法則むずかしい

水平な机の上にある質量 2 kg のブロックが、なめらかな滑車にかけた軽い糸で、つり下げた質量 3.5 kg のおもりとつながれている。ブロックと机の間の動摩擦係数は 0.3 である。 g = 9.81 m/s² とする。全体の加速度 a を求めよ。

m₁ = 2 kgm₂ = 3.5 kgμ = 0.3g = 9.81 m/s²

a = m/s²

5.放物運動ふつう

ボールを平らな地面から水平から 40° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでの飛行時間 t を求めよ。

v₀ = 22 m/sθ = 40°g = 9.81 m/s²

t = s

6.放物運動むずかしい

ボールを高さ 15 m の崖の上から水平から 45° 上向きに投げる。空気抵抗は無視する。ボールが地面に落ちるまでに進む水平距離 x を求めよ。

v₀ = 33 m/sθ = 45°h = 15 mg = 9.81 m/s²

x = m

7.仕事とエネルギーふつう

質量 800 kg の自動車が 8° の坂を一定の 90 km/h で上る。空気抵抗と転がり抵抗の合計は 800 N である。車輪が出さなければならない動力 P を kW で求めよ。

m = 800 kgθ = 8°F_r = 800 Nv = 90 km/hg = 9.81 m/s²

P = kW

8.仕事とエネルギーむずかしい

質量 2.5 kg のブロックを、なめらかなスロープ上の高さ 2 m から静かに放す。下で長さ 3.5 m の粗い水平区間（μ = 0.1）を通り、その後なめらかな面でばね（k = 1000 N/m）に当たる。ばねの最大縮み x を求めよ。

m = 2.5 kgh = 2 mL = 3.5 mμ = 0.1k = 1000 N/mg = 9.81 m/s²

x = cm

9.運動量と衝突ふつう

摩擦のないレール上で、5 m/s で動く質量 1.5 kg のグライダーが、静止している質量 3 kg のグライダーと完全弾性的に正面衝突する。衝突後の 1 台目のグライダーの速度 v′₁ を求めよ（元の進行方向を正とする）。

m₁ = 1.5 kgm₂ = 3 kgv₁ = 5 m/sv₂ = 0

v′₁ = m/s

10.運動量と衝突むずかしい

質量 0.3 kg のボールが 23 m/s で壁に当たり、17 m/s でまっすぐはね返る。接触時間は 20 ms である。壁がボールに及ぼす平均の力 F_avg を求めよ。

m = 0.3 kgv_in = 23 m/sv_out = 17 m/sΔt = 20 ms

F_avg = N

11.静水圧ふつう

幅 1.5 m の鉛直な長方形ゲートが、水を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 2 m 下にある。ゲートに働く静水圧の合力 F を求めよ。

d = 2 mH = 2.5 mb = 1.5 mρ = 1000 kg/m³g = 9.81 m/s²

F = kN

12.静水圧むずかしい

幅 3 m の鉛直な長方形ゲートが、油を入れたタンクの壁にあり、その上端は液面から 1 m 下にある。液面から圧力中心までの深さ y_cp を求めよ。

d = 1 mH = 1.5 mb = 3 mρ = 880 kg/m³g = 9.81 m/s²

y_cp = m

13.連続の式とベルヌーイふつう

水が 7 L/s で、150 mm から 75 mm に細くなる水平管を流れる。細い部分の圧力は 160 kPa である。損失を無視して、太い部分の圧力 p₁ を求めよ。

Q = 7 L/sd₁ = 150 mmd₂ = 75 mmp₂ = 160 kPaρ = 1000 kg/m³

p₁ = kPa

14.連続の式とベルヌーイむずかしい

水が、200 mm から 100 mm に細くなりながら 5 m 上昇する管を上向きに流れる。断面 1 での圧力は 160 kPa、流速は 2.75 m/s である。損失を無視して、断面 2 での圧力 p₂ を求めよ。

d₁ = 200 mmd₂ = 100 mmp₁ = 160 kPav₁ = 2.75 m/sΔz = 5 mρ = 1000 kg/m³

p₂ = kPa

15.理想気体の状態方程式ふつう

容積 5 L のタンクに、温度 35 °C のO₂が 480 g 入っている。理想気体として圧力 P を求めよ。

m = 480 gM = 32 g/molV = 5 LT = 35 °CR = 8.314 J/(mol·K)

P = kPa

16.理想気体の状態方程式むずかしい

200 kPa、200 °C におけるCO₂の密度 ρ を、理想気体として求めよ。

M = 44.01 g/molP = 200 kPaT = 200 °CR = 8.314 J/(mol·K)

ρ = kg/m³

17.熱機関と冷凍機ふつう

熱機関が 600 °C の高温熱源と 20 °C の低温熱源の間で働く。この機関は 3000 kJ の熱を受け取る。得られる最大の仕事 W_max を求めよ。

T_H = 600 °CT_L = 20 °CQ_H = 3000 kJ

W_max = kJ

18.熱機関と冷凍機むずかしい

冷蔵庫が、35 °C のキッチンで冷蔵室を -25 °C に保ち、冷蔵室から 2.5 kW の熱を取り除く。可能な最大の成績係数 COP_max を求めよ。

T_H = 35 °CT_L = -25 °CQ̇_L = 2.5 kW

COP_max =

19.波・音・光学ふつう

物体が、焦点距離 8 cm の薄い収束レンズの 18 cm 前にあります。倍率 m を求めてください（倒立像では負）。

d_o = 18 cmf = 8 cm

m =

20.波・音・光学むずかしい

回折格子に 1 ミリメートルあたり 600 本の線があります。波長 589 nm の光が直角に当たります。見える明るい極大の最高次数 m_max はいくつですか？

N = 600 mm⁻¹λ = 589 nm

m_max =

3溶液

1.運動学

答え: a = 2.16 m/s²

Motion with constant acceleration: v = v₀ + a·t, s = v₀·t + ½·a·t² and v² = v₀² + 2·a·s. Pick the equation that contains the three things you know and the one you want, and keep the signs consistent with one positive direction.

単位

v = 280/3.6 = 77.78 m/s

加速度

a = v²/(2s) = 77.78²/(2·1400) = 2.16 m/s²

答え

a = 2.16 m/s²

2.運動学

答え: d = 67.29 m

時間の 2 つの部分

½·9.81·t₁² = 343·(3.9 − t₁)

4.905·t₁² + 343·t₁ − 1338 = 0

落下時間

物理的に意味があるのは正の解だけです。

t₁ = (−343 + √(343² + 4·4.905·1338))/(2·4.905) = 3.704 s

深さ

d = ½·9.81·3.704² = 67.29 m

答え

d = 67.29 m

3.ニュートンの法則

答え: a = 1.512 m/s²

ニュートンの運動の第 2 法則：物体にはたらく合力は、質量と加速度の積に等しくなります：ΣF = m·a。自由体図を描き、運動の向きに正の向きを決めて、その向きのすべての力を足し合わせましょう：加えた力、運動を妨げる向きの摩擦力 μ·N、重力の成分です。

斜面に沿った力

斜面に沿って下向きを正とします。

m·a = m·g·sin θ − μ·m·g·cos θ

加速度

a = 9.81·(sin 20° − 0.2·cos 20°) = 9.81·(0.342 − 0.1879) = 1.512 m/s²

答え

a = 1.512 m/s²

4.ニュートンの法則

答え: a = 5.173 m/s²

系の加速度

a = (m₂·g − μ·m₁·g)/(m₁ + m₂) = (34.34 − 5.886)/5.5 = 5.173 m/s²

答え

a = 5.173 m/s²

5.放物運動

答え: t = 2.883 s

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 22·cos 40° = 16.85 m/s

v_y = v₀·sin θ = 22·sin 40° = 14.14 m/s

滞空時間

発射点と着地点が同じ高さ：t = 2v_y/g。

t = 2·14.14/9.81 = 2.883 s

答え

t = 2.883 s

6.放物運動

答え: x = 124.4 m

放物運動：空気抵抗がなければ x = v_xt、y = h + v_yt − ½gt²。2 つの方向は独立で、共通なのは時間だけです。

初速度を分解する

水平速度は一定で、鉛直運動は下向きの一定加速度 g = 9.81 m/s² をもちます。

v_x = v₀·cos θ = 33·cos 45° = 23.33 m/s

v_y = v₀·sin θ = 33·sin 45° = 23.33 m/s

滞空時間

y(t) = h + v_y·t − ½gt² = 0 を解き、正の解をとります。

0 = 15 + 23.33·t − 4.905·t²

t = (v_y + √(v_y² + 2gh))/g = (23.33 + √(544.5 + 294.3))/9.81 = 5.331 s

水平距離

x = v_x·t = 23.33·5.331 = 124.4 m

答え

x = 124.4 m

7.仕事とエネルギー

答え: P = 47.31 kW

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。動力は力 × 速さです：P = F·v。

駆動力

m·g = 800·9.81 = 7848 N

mg·sin θ = 7848·sin 8° = 1092 N

F = 1092 + 800 = 1892 N

電力

v = 90/3.6 = 25 m/s

P = F·v = 1892·25 = 47306 W = 47.31 kW

答え

P = 47.31 kW

8.仕事とエネルギー

答え: x = 28.45 cm

仕事とエネルギーの原理：運動エネルギーの変化は、すべての力がした仕事に等しくなります。重力とばねを位置エネルギー（mgh と ½kx²）として書くと、収支の式になります：初めのエネルギー = 終わりのエネルギー + 摩擦で失われたエネルギー (μN·d)。

粗い区間を通過した後のエネルギー

スロープはなめらかなので、エネルギーを奪うのは粗い区間だけです。

mgh − μmgL = 24.53·(2 − 0.1·3.5) = 40.47 J

最大縮み

½kx² = 40.47 → x = √(2·40.47/1000) = 0.2845 m = 28.45 cm

答え

x = 28.45 cm

9.運動量と衝突

答え: v′₁ = −1.667 m/s

運動量保存則：衝突の間に外力がはたらかなければ、衝突前の運動量の総和 Σm·v は衝突後の総和に等しくなります。速度には向きがあるので、正の向きを決め、逆向きの速度には負の符号をつけましょう。弾性衝突では運動エネルギーも保存され、完全非弾性衝突では物体どうしが一体となって動きます。

静止した相手との弾性衝突

運動量保存則とエネルギー保存則を連立して解くと、この 2 つの結果が得られます。

v′₁ = (1.5 − 3)/(1.5 + 3)·5 = −1.667 m/s

v′₂ = 2·1.5/(1.5 + 3)·5 = 3.333 m/s

答え

v′₁ = −1.667 m/s

負の符号は、1 台目のグライダーがはね返ることを意味します。

10.運動量と衝突

答え: F_avg = 600 N

運動量の変化

J = m·Δv = 0.3·(17 + 23) = 12 N·s

平均の力

F_avg = J/Δt = 12/0.02 = 600 N

答え

F_avg = 600 N

11.静水圧

答え: F = 119.6 kN

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 2 + 2.5/2 = 3.25 m

A = H·b = 2.5·1.5 = 3.75 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 1000·9.81·3.25·3.75 = 119.6 kN

答え

F = 119.6 kN

12.静水圧

答え: y_cp = 1.857 m

平面に働く静水圧：F = ρ·g·y_c·A。力は圧力中心 y_cp = y_c + I_c/(y_cA) に作用し、これは常に図心より下にあります。

図心の深さと面積

y_c = d + H/2 = 1 + 1.5/2 = 1.75 m

A = H·b = 1.5·3 = 4.5 m²

合力

F = ρ·g·y_c·A = 880·9.81·1.75·4.5 = 67.98 kN

圧力中心

圧力は深さとともに増えるので、合力は図心より下に作用します。

I_c = b·H³/12 = 3·1.5³/12 = 0.8438 m⁴

y_cp = y_c + I_c/(y_c·A) = 1.75 + 0.8438/(1.75·4.5) = 1.857 m

答え

y_cp = 1.857 m

13.連続の式とベルヌーイ

答え: p₁ = 161.2 kPa

Continuity and Bernoulli: for an incompressible fluid the flow rate is the same at every section, Q = A₁v₁ = A₂v₂. Along a streamline without losses, p + ½ρv² + ρgz is constant, so where the fluid is faster or higher its pressure is lower.

流速

v₁ = Q/A₁ = 0.007/0.01767 = 0.3961 m/s

v₂ = Q/A₂ = 0.007/0.004418 = 1.584 m/s

ベルヌーイの定理

p₁ = p₂ + ½ρ(v₂² − v₁²) = 160 + ½·1000·(1.584² − 0.3961²)/1000 = 160 + 1.177 = 161.2 kPa

答え

p₁ = 161.2 kPa

14.連続の式とベルヌーイ

答え: p₂ = 54.23 kPa

連続の式とベルヌーイの定理：非圧縮性流体では、どの断面でも流量は同じです：Q = A₁v₁ = A₂v₂。損失のない流線に沿って p + ½ρv² + ρgz は一定なので、流れが速いところや高いところほど圧力は低くなります。

連続の式とベルヌーイ

Pa で計算し、1000 で割って kPa にします。

v₂ = v₁·(d₁/d₂)² = 2.75·(200/100)² = 11 m/s

½ρ(v₁² − v₂²) = ½·1000·(2.75² − 11²)/1000 = −56.72 kPa

ρgΔz = 1000·9.81·5/1000 = 49.05 kPa

p₂ = p₁ + ½ρ(v₁² − v₂²) − ρgΔz = 160 + (−56.72) − 49.05 = 54.23 kPa

答え

p₂ = 54.23 kPa

15.理想気体の状態方程式

答え: P = 7686 kPa

理想気体の状態方程式：PV = nRT、n = m/M。

物質量

n = m/M = 480/32 = 15 mol

T = 35 + 273.15 = 308.1 K

圧力

P = nRT/V = 15·8.314·308.1/0.005 = 7686 kPa

答え

P = 7686 kPa

16.理想気体の状態方程式

答え: ρ = 2.238 kg/m³

理想気体の密度：ρ = PM/(RT)。

状態方程式を変形する

PV = (m/M)RT → ρ = m/V = PM/(RT)

T = 200 + 273.15 = 473.1 K

密度

ρ = 200·44.01/(8.314·473.1) = 2.238 kg/m³

答え

ρ = 2.238 kg/m³

17.熱機関と冷凍機

答え: W_max = 1993 kJ

第 2 法則による限界：絶対温度 T_H と T_L の熱源の間で働くどんなサイクルも、可逆（カルノー）サイクルを上回れません：η_max = 1 − T_L/T_H、COP_R,max = T_L/(T_H − T_L)、COP_HP,max = T_H/(T_H − T_L)。エネルギーは常に保存されます：Q_H = W + Q_L。

絶対温度

T_H = 600 + 273.15 = 873.1 K

T_L = 20 + 273.15 = 293.1 K

カルノー効率

η_max = 1 − T_L/T_H = 1 − 293.1/873.1 = 66.43 %

最大仕事

W_max = η_max·Q_H = 0.6643·3000 = 1993 kJ

答え

W_max = 1993 kJ

18.熱機関と冷凍機

答え: COP_max = 4.136

絶対温度

T_H = 35 + 273.15 = 308.1 K

T_L = -25 + 273.15 = 248.1 K

可能な最良の COP

COP_R,max = T_L/(T_H − T_L) = 248.1/(308.1 − 248.1) = 4.136

答え

COP_max = 4.136

19.波・音・光学

答え: m = −0.8

幾何光学：境界では n₁·sin θ₁ = n₂·sin θ₂（スネルの法則）が成り立ち、角度は法線から測り、n = c/v です。より遅い媒質に入るとき、光線は法線に近づくように曲がります。より密な媒質（n₁ > n₂）から臨界角 θ_c = arcsin(n₂/n₁) を超えると、すべての光が反射されます：全反射です。薄いレンズと球面鏡は 1/f = 1/d_o + 1/d_i に従い、倍率は m = −d_i/d_o です。符号の規則：収束レンズと凹面鏡（f = R/2）では f > 0、発散レンズと凸面鏡では f < 0 です。d_i > 0 は実像、d_i < 0 は虚像、m < 0 は倒立した像を表します。

薄いレンズの式

1/d_i = 1/f − 1/d_o = 1/8 − 1/18

d_i = 14.4 cm

倍率

m = −d_i/d_o = −14.4/18 = −0.8

答え

m = −0.8

20.波・音・光学

答え: m_max = 2

干渉と回折：距離 d だけ離れた 2 本のスリットを通った光は、スクリーン上の点に行路差 d·sin θ で届きます。明線は d·sin θ = mλ（m = 0, ±1, ±2, …）の位置に現れます。スクリーンまでの距離が L ≫ d のとき、m 番目の明線は y = mλL/d の位置にあり、縞の間隔は Δy = λL/d です。1 ミリメートルあたり N 本の線をもつ回折格子では d = 1/N で、鋭い極大が d·sin θ = mλ の位置に現れます。sin θ ≤ 1 なので、最高次数は m ≤ d/λ を満たす最大の整数 m です。幅 a の単スリットでは、a·sin θ = mλ（m = ±1, ±2, …）の位置に暗線ができます。

線の間隔

d = 1/600 mm = 1.667 µm

最高次数

m ≤ d/λ = 1.667 µm/0.589 µm = 2.83 → m_max = 2

答え

m_max = 2

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